Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{x}{2} \cos x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{2}\cos x^{2}\,dx.
Informações dadas: a integranda é a função \frac{x}{2}\cos x^{2}. O objetivo é encontrar uma antiderivada (ou primitiva) — isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\frac{x}{2}\cos x^{2}. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então o resultado terá uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia do Método da Substituição (explicação didática): quando temos uma função composta, por exemplo \cos(x^{2}), e dentro dessa composição aparece também a derivada (ou algo proporcional a ela) do termo interno ( x^{2} tem derivada 2x), é conveniente fazer a troca u = (parte interna). A substituição transforma uma integral em termos de x numa integral em termos de u, que costuma ser mais simples de calcular. A regra usada é: se fizermos u=g(x), então du=g'(x)\,dx e
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.

Passo 3

Aplicando a ideia aqui: observe que a parte interna da função cosseno é x^{2}. Fazemos a substituição
u = x^{2}.
Diferenciando ambos os lados em relação a x,
du = 2x\,dx.
Isso implica
x\,dx = \frac{du}{2}.
Também é útil colocar a constante 1/2 fora da integral antes de substituir. Assim,
\int \frac{x}{2}\cos x^{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\cos(x^{2})\,dx.

Passo 4

Agora substituímos u e x\,dx na integral. Usando x\,dx=\frac{du}{2} e \cos(x^{2})=\cos u, temos
\frac{1}{2}\int x\cos(x^{2})\,dx = \frac{1}{2}\int \cos u\left(\frac{du}{2}\right).
Multiplicando as constantes,
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{4}\int \cos u\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. A antiderivada de \cos u é \sin u, porque \frac{d}{du}\sin u=\cos u. Portanto
\frac{1}{4}\int \cos u\,du = \frac{1}{4}\sin u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo u = x^{2}:
\frac{1}{4}\sin u + C = \frac{1}{4}\sin(x^{2}) + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\sin(x^{2})\right) = \frac{1}{4}\cos(x^{2})\cdot 2x = \frac{x}{2}\cos(x^{2}),
que coincide com a integranda, então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin(x^{2})+C

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