Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{x}{2} \cos x^{2} d x
\int \frac{x}{2} \cos x^{2} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é a função
. O objetivo é encontrar uma antiderivada (ou primitiva) — isto é, uma função
tal que
. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então o resultado terá uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia do Método da Substituição (explicação didática): quando temos uma função composta, por exemplo
, e dentro dessa composição aparece também a derivada (ou algo proporcional a ela) do termo interno (
tem derivada
), é conveniente fazer a troca
(parte interna). A substituição transforma uma integral em termos de
numa integral em termos de
, que costuma ser mais simples de calcular. A regra usada é: se fizermos
, então
e
Passo 3
Aplicando a ideia aqui: observe que a parte interna da função cosseno é
. Fazemos a substituição
Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Isso implica
Também é útil colocar a constante
fora da integral antes de substituir. Assim,
Passo 4
Agora substituímos
e
na integral. Usando
e
, temos
Multiplicando as constantes,
Passo 5
Agora integramos em
. A antiderivada de
é
, porque
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos
que coincide com a integranda, então a primitiva está correta.