Aplique os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss- Seidel no sistema dado, faça troca de linhas para garantir a convergência do método, considere x^(0)=binom11, com erro relativo epsilon=0.05.
cc 2 x1+5 x2= & -3 3 x1+x2= & 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema de equações usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema que temos é:
cc 2 x1+5 x2= & -3 3 x1+x2= & 2
Vamos precisar entender como funcionam esses métodos iterativos e garantir que o sistema converge para uma solução. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar as equações para isolar cada variável. Isso é importante porque, nos métodos iterativos, atualizamos uma variável de cada vez com base nas outras.
Para a primeira equação, isolamos 2x1 = -3 - 5x2 x1 = -3 - 5x22 :
x2 = 2 - 3x1
Para a segunda equação, isolamos :
Agora, temos as fórmulas prontas para iterar.

Passo 3

Antes de começar as iterações, vamos verificar se precisamos trocar as linhas para garantir a convergência dos métodos. A convergência depende de certos critérios, como a diagonal dominante.
Uma matriz é diagonalmente dominante se, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da diagonal é maior do que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos verificar nosso sistema:
Para a primeira linha:
versus → 2 < 5 (não é dominante)
Para a segunda linha:
versus → 1 < 3 (não é dominante)
Como nenhuma das linhas é diagonalmente dominante, vamos trocar as linhas para tentar tornar o sistema adequado para a convergência.

Passo 4

Depois de trocar as linhas, nosso sistema fica:
cc 3 x1+x2= & 2 2 x1+5 x2= & -3
Agora, vamos verificar a dominância diagonal novamente:
Para a primeira linha:
versus → 3 > 1 (dominante)
Para a segunda linha:
versus → 5 > 2 (dominante)
Ótimo! Agora o sistema está com linhas diagonalmente dominantes, o que nos dá mais confiança na convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.

Passo 5

Vamos agora aplicar o método de Gauss-Jacobi. Nesse método, todas as atualizações são feitas simultaneamente com base nos valores da iteração anterior.
Isolamos as variáveis:
Para x1^(k+1) = 2 - x2^(k)3 :
x2^(k+1) = -3 - 2x1^(k)5
Para 1 1:
Começamos com .

Passo 6

Iteração 1 (k=0):
Calculamos x1^(1) = 2 - 13 = 13 approx 0.3333 :
x2^(1) = -3 - 2(1)5 = -55 = -1
Calculamos x^(1) = 0.3333 -1 :
Novo vetor:

Passo 7

Calculando o erro relativo:
Para Erro relativo = |0.3333 - 10.3333| approx 2.0 (maior que 0.05) :
Como o erro ainda é maior que 5%, precisamos continuar iterando.

Passo 8

Iteração 2 (k=1):
Calculamos x1^(2) = 2 - (-1)3 = 33 = 1 :
x2^(2) = -3 - 2(0.3333)5 = -3 - 0.66665 = -3.66665 approx -0.7333
Calculamos x^(2) = 1 -0.7333 :
Novo vetor:

Passo 9

Calculando o erro relativo:
Para Erro relativo = |-0.7333 - (-1)-0.7333| approx 0.3636 (maior que 0.05) :
Ainda precisamos continuar iterando.

Passo 10

Iteração 3 (k=2):
Calculamos x1^(3) = 2 - (-0.7333)3 = 2.73333 approx 0.9111 :
x2^(3) = -3 - 2(1)5 = -55 = -1
Calculamos x^(3) = 0.9111 -1 :
Novo vetor:

Passo 11

Calculando o erro relativo:
Para Erro relativo = |0.9111 - 10.9111| approx 0.0972 (maior que 0.05) :
Ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos para a próxima iteração.

Passo 12

Iteração 4 (k=3):
Calculamos x1^(4) = 2 - (-1)3 = 33 = 1 :
x2^(4) = -3 - 2(0.9111)5 = -3 - 1.82225 = -4.82225 approx -0.9644
Calculamos x^(4) = 1 -0.9644 :
Novo vetor:

Passo 13

Calculando o erro relativo:
Para Erro relativo = |-0.9644 - (-1)-0.9644| approx 0.0375 (menor que 0.05) :
Conseguimos atingir o erro relativo de 5%! Então, paramos por aqui.

Resposta

Aproximando com o método de Gauss-Jacobi, a solução do sistema com erro relativo menor que 5% é:
x approx 1 -0.9644

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