Aplique os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss- Seidel no sistema dado, faça troca de linhas para garantir a convergência do método, considere , com erro relativo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um sistema de equações usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender como funcionam esses métodos iterativos e garantir que o sistema converge para uma solução. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, precisamos reorganizar as equações para isolar cada variável. Isso é importante porque, nos métodos iterativos, atualizamos uma variável de cada vez com base nas outras.
Para a primeira equação, isolamos :
Para a segunda equação, isolamos :
Agora, temos as fórmulas prontas para iterar.
Passo 3
Antes de começar as iterações, vamos verificar se precisamos trocar as linhas para garantir a convergência dos métodos. A convergência depende de certos critérios, como a diagonal dominante.
Uma matriz é diagonalmente dominante se, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da diagonal é maior do que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos verificar nosso sistema:
Para a primeira linha: versus → 2 < 5 (não é dominante)
Para a segunda linha: versus → 1 < 3 (não é dominante)
Como nenhuma das linhas é diagonalmente dominante, vamos trocar as linhas para tentar tornar o sistema adequado para a convergência.
Passo 4
Depois de trocar as linhas, nosso sistema fica:
Agora, vamos verificar a dominância diagonal novamente:
Para a primeira linha: versus → 3 > 1 (dominante)
Para a segunda linha: versus → 5 > 2 (dominante)
Ótimo! Agora o sistema está com linhas diagonalmente dominantes, o que nos dá mais confiança na convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.
Passo 5
Vamos agora aplicar o método de Gauss-Jacobi. Nesse método, todas as atualizações são feitas simultaneamente com base nos valores da iteração anterior.
Isolamos as variáveis:
Para :
Para :
Começamos com .
Passo 6
Iteração 1 (k=0):
Calculamos :
Calculamos :
Novo vetor:
Passo 7
Calculando o erro relativo:
Para :
Como o erro ainda é maior que 5%, precisamos continuar iterando.