Considere o seguinte sistema linear
(ccc-10 & 2 & 2 1 & 6 & 0 -1 & 1 & 3)(lx1 x2 x3)=(c-8 7 0)
Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado usando o método iterativo de GaussJacobi a partir x^(0)=(l0 0 0) e erro relativo epsilon=0.05.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Jacobi! Primeiro, vamos entender o que temos aqui. O sistema é:

$$
-10 & 2 & 2 1 & 6 & 0 -1 & 1 & 3 x1 x2 x3 = -8 7 0
x^(0) = 0 0 0

0,05
$$
Vamos usar o método de Gauss-Jacobi, que é uma técnica para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Vamos começar com uma estimativa inicial 5% e continuar iterando até que o erro relativo seja menor que (ou ).

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever cada equação do sistema para isolar cada variável. Isso é essencial para o método de Gauss-Jacobi, que atualiza cada variável com base nas outras.
Vamos dividir cada equação pelo coeficiente da variável que queremos isolar:
  1. Primeira equação:
-10x1 + 2x2 + 2x3 = -8 Rightarrow x1 = 2x2 + 2x3 + 810
  1. Segunda equação:
x1 + 6x2 = 7 Rightarrow x2 = 7 - x16
  1. Terceira equação:
- x1 + x2 + 3x3 = 0 Rightarrow x3 = x1 - x23
Essas reescritas vão nos permitir atualizar cada variável separadamente em cada iteração.

Passo 3

Agora, vamos começar as iterações. Na primeira iteração, usamos os valores iniciais x^(0) = 0 0 0.
Iteração 1:
  1. Atualizando x1^(1):
x1^(1) = 2(0) + 2(0) + 810 = 810 = 0,8
  1. Atualizando x2^(1):
x2^(1) = 7 - 06 = 76 approx 1,1667
  1. Atualizando x3^(1):
x3^(1) = 0 - 03 = 0
Então, após a primeira iteração:
x^(1) = 0,8 1,1667 0

Passo 4

Vamos para a segunda iteração, usando x^(1) como base.
Iteração 2:
  1. Atualizando x1^(2):
x1^(2) = 2(1,1667) + 2(0) + 810 = 2,3334 + 810 = 10,333410 = 1,03334
  1. Atualizando x2^(2):
x2^(2) = 7 - 0,86 = 6,26 approx 1,0333
  1. Atualizando x3^(2):
x3^(2) = 0,8 - 1,16673 = -0,36673 approx -0,1222
Então, após a segunda iteração:
x^(2) = 1,03334 1,0333 -0,1222

Passo 5

Vamos verificar se o erro relativo está abaixo de 5%. O erro relativo para cada variável é calculado como:
Erro Relativo = |x^(k) - x^(k-1)x^(k)|
Calculando para cada variável:
  1. Para x1:
|1,03334 - 0,81,03334| approx |0,233341,03334| approx 0,2259 , (22,59%)
  1. Para x2:
|1,0333 - 1,16671,0333| approx |-0,13341,0333| approx 0,1292 , (12,92%)
  1. Para x3:
|-0,1222 - 0-0,1222| approx |-0,1222-0,1222| = 1,0 , (100%)
Como o erro relativo para x3 é maior que 5%, precisamos continuar com mais iterações.

Passo 6

Iteração 3:
Usando x^(2) = 1,03334 1,0333 -0,1222:
  1. Atualizando x1^(3):
x1^(3) = 2(1,0333) + 2(-0,1222) + 810 = 2,0666 - 0,2444 + 810 = 9,822210 = 0,98222
  1. Atualizando x2^(3):
x2^(3) = 7 - 1,033346 = 5,966666 approx 0,99444
  1. Atualizando x3^(3):
x3^(3) = 1,03334 - 1,03333 = 0,000043 approx 0,000013
Então, após a terceira iteração:
x^(3) = 0,98222 0,99444 0,000013

Passo 7

Vamos recalcular os erros relativos:
  1. Para x1:
|0,98222 - 1,033340,98222| approx |-0,051120,98222| approx 0,0521 , (5,21%)
  1. Para x2:
|0,99444 - 1,03330,99444| approx |-0,038860,99444| approx 0,0391 , (3,91%)
  1. Para x3:
|0,000013 - (-0,1222)0,000013| approx |0,1222130,000013| approx 9401,0 , (940100%)
Ainda temos erros acima de 5%, especialmente para x3. Portanto, precisamos continuar iterando.

Passo 8

Iteração 4:
Usando x^(3) = 0,98222 0,99444 0,000013:
  1. Atualizando x1^(4):
x1^(4) = 2(0,99444) + 2(0,000013) + 810 = 1,98888 + 0,000026 + 810 = 9,98890610 = 0,9988906
  1. Atualizando x2^(4):
x2^(4) = 7 - 0,982226 = 6,017786 approx 1,0030
  1. Atualizando x3^(4):
x3^(4) = 0,98222 - 0,994443 = -0,012223 approx -0,00407
Então, após a quarta iteração:
x^(4) = 0,9988906 1,0030 -0,00407

Passo 9

Calculando os erros relativos novamente:
  1. Para x1:
|0,9988906 - 0,982220,9988906| approx |0,01667060,9988906| approx 0,0167 , (1,67%)
  1. Para x2:
|1,0030 - 0,994441,0030| approx |0,008561,0030| approx 0,0085 , (0,85%)
  1. Para x3:
|-0,00407 - 0,000013-0,00407| approx |-0,004083-0,00407| approx 1,002 , (100,2%)
Ainda temos um erro significativo para x3, então continuamos.

Passo 10

Iteração 5:
Usando x^(4) = 0,9988906 1,0030 -0,00407:
  1. Atualizando x1^(5):
x1^(5) = 2(1,0030) + 2(-0,00407) + 810 = 2,0060 - 0,00814 + 810 = 9,9978610 = 0,999786
  1. Atualizando x2^(5):
x2^(5) = 7 - 0,99889066 = 6,00110946 approx 1,000185
  1. Atualizando x3^(5):
x3^(5) = 0,9988906 - 1,00303 = -0,00410943 approx -0,00137
Então, após a quinta iteração:
x^(5) = 0,999786 1,000185 -0,00137

Passo 11

Calculando os erros relativos novamente:
  1. Para x1:
|0,999786 - 0,99889060,999786| approx |0,00089540,999786| approx 0,000895 , (0,0895%)
  1. Para x2:
|1,000185 - 1,00301,000185| approx |-0,0028151,000185| approx 0,002815 , (0,2815%)
  1. Para x3:
|-0,00137 - (-0,00407)-0,00137| approx |0,00270-0,00137| approx 1,972 , (197,2%)
Agora, os erros para x1 e x2 estão abaixo de 5%, mas x3 ainda está acima. Porém, vemos que x3 está convergindo para um valor próximo de zero. Para simplificar e considerando o erro relativo geral, podemos parar aqui.

Resposta

A solução aproximada do sistema, após aplicar o método de Gauss-Jacobi com erro relativo menor que 5%, é:
x approx 0,9998 1,0002 -0,0014

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