😎 Aplique o modelo de Bohr ao átomo de hélio uma vez ionizado, i.e., o átomo sem um de seus elétrons. Qual é a relação existente entre os espectros de emissão do hélio ionizado e o átomo de hidrogênio ? Compare os comprimentos de onda das diferentes transições em ambos os átomos. Átomos com o mesmo número de elétrons são denominados isoeletrônicos.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o modelo de Bohr ao íon hélio uma vez ionizado ( He^+), ou seja, um átomo com número atômico Z=2 e apenas um elétron. Em seguida, comparar seu espectro de emissão com o do átomo de hidrogênio ( Z=1). Átomos que têm o mesmo número de elétrons são chamados isoeletrônicos, logo He^+ e H formam um par isoeletrônico. Vamos usar o modelo de Bohr para átomos hidrogenoides e a fórmula de Rydberg para fazer essa comparação.

Passo 2

No modelo de Bohr, para um átomo hidrogenoide de número atômico Z, os níveis de energia quânticos são
En = -,13,6 eV;Z^2n^2,,
onde n=1,2,3,dots. Esse resultado vem de igualar a força centrípeta coulombiana à força centrífuga no elétron em órbita e aplicar a quantização do momento angular.

Passo 3

Quando o elétron faz uma transição de um nível ni para um nível nf<ni, a energia emitida é
De<a E = Enf-Eni = 13,6 eV;Z^2l(1nf^2-1ni^2r),
Convertendo essa energia em comprimento de onda, usamos
lambda = hcDe<a E Longrightarrow 1lambda = De<a Ehc = Rinfty,Z^2l(1nf^2-1ni^2r),,
onde Rinftyapprox1,097times10^7 m^-1 é a constante de Rydberg para o hidrogênio.

Passo 4

Para o átomo de hidrogênio ( Z=1) vale
1lambdaH = Rinftyl(1nf^2-1ni^2r),
e para He^+ ( Z=2)
1lambdaHe^+ = Rinfty;2^2l(1nf^2-1ni^2r) =4,Rinftyl(1nf^2-1ni^2r) =4,1lambdaH,

Passo 5

Da expressão acima segue-se diretamente que, para cada par de níveis (ni,nf),
lambdaHe^+ ;=;lambdaH4, nuHe^+ ;=;4,nuH,
onde nu é a frequência. Em outras palavras, o espectro de He^+ é idêntico em termos de padrões de linhas (Lyman, Balmer etc.) mas todas as linhas aparecem em comprimentos de onda quatro vezes menores (e frequências quatro vezes maiores) do que em hidrogênio.

Resposta

A relação entre os espectros é
lambdaHe^+ = lambdaH4,
ou seja, as mesmas séries espectrais de H aparecem em He^+ porém comprimidas em fator 1/4 no comprimento de onda (e aumentadas em fator 4 na frequência).

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