3-) A partir do princípio de conservação da energia para o átomo de hidrogênio constituído por um próton e um elétron realizando uma órbita circular em torno do mesmo, de raio
, com o módulo da velocidade tangencial
mostre que:
onde
é denominado número quântico,
e
são respectivamente a massa e a carga do elétron,
é a constante de permissividade elétrica do vácuo e
é a constante de Planck (aproximadamente
no SI). O sinal menos indica que os estados de energia do átomo são estados ligados do elétron. (dica: escreva a equação para as energias cinética e potencial do elétron localizado a uma distância
do núcleo atômico. Considere o equilíbrio das forças elétrica e centrípeta e aplique a lei de quantização de Bohr ao sistema, i.e.,
.
onde
Passo 1
O enunciado pede para obter os níveis de energia do átomo de hidrogênio no modelo de Bohr, mostrando que
onde
. Vamos usar conservação de energia (energia cinética mais energia potencial), equilíbrio entre força centrípeta e força de Coulomb, e a quantização do momento angular de Bohr
Passo 2
Escrevemos a energia total do elétron em órbita circular de raio
como
sendo energia cinética
e energia potencial eletrostática
Passo 3
No equilíbrio de forças o centrípeta
vem da força de Coulomb
Logo a energia cinética vale
Passo 4
Substituindo
e
em
obtemos
Passo 5
Aplicamos agora a quantização de Bohr do momento angular
Elevando ao quadrado e igualando a expressão de
do passo 3,
resolvendo para
vem
Passo 6
Finalmente substituímos
em
para obter