3-) A partir do princípio de conservação da energia para o átomo de hidrogênio constituído por um próton e um elétron realizando uma órbita circular em torno do mesmo, de raio r, com o módulo da velocidade tangencial |V| mostre que:
En=-m e^48 varepsilon0^2 h^2 1n^2
com n=1,2,3, cdots
onde n é denominado número quântico, m e e são respectivamente a massa e a carga do elétron, varepsilon0 é a constante de permissividade elétrica do vácuo e h é a constante de Planck (aproximadamente 6,63 times 10^-34 Js no SI). O sinal menos indica que os estados de energia do átomo são estados ligados do elétron. (dica: escreva a equação para as energias cinética e potencial do elétron localizado a uma distância r do núcleo atômico. Considere o equilíbrio das forças elétrica e centrípeta e aplique a lei de quantização de Bohr ao sistema, i.e., Ln=n h2 pi com n=1,2,3, ldots).

Passo 1

O enunciado pede para obter os níveis de energia do átomo de hidrogênio no modelo de Bohr, mostrando que
En=-m e^48varepsilon0^2h^21n^2,
onde n=1,2,3,dots. Vamos usar conservação de energia (energia cinética mais energia potencial), equilíbrio entre força centrípeta e força de Coulomb, e a quantização do momento angular de Bohr
Ln=mvr=n h2pi

Passo 2

Escrevemos a energia total do elétron em órbita circular de raio r como
E = K + U,
sendo energia cinética
K = tfrac12 m v^2
e energia potencial eletrostática
U = -14pivarepsilon0e^2r

Passo 3

No equilíbrio de forças o centrípeta m v^2/r vem da força de Coulomb
m v^2r = 14pivarepsilon0e^2r^2 Longrightarrow v^2 = 14pivarepsilon0e^2m,r
Logo a energia cinética vale
K = 12 m v^2 = 18pivarepsilon0e^2r

Passo 4

Substituindo K e U em E=K+U obtemos
E(r) = 18pivarepsilon0e^2r - 14pivarepsilon0e^2r = -18pivarepsilon0e^2r

Passo 5

Aplicamos agora a quantização de Bohr do momento angular
m v r = n h2pi Longrightarrow v = n h2pi m,r
Elevando ao quadrado e igualando a expressão de v^2 do passo 3,
n^2h^24pi^2m^2r^2 = 14pivarepsilon0e^2m,r,
resolvendo para r vem
rn = varepsilon0,n^2h^2pi m e^2

Passo 6

Finalmente substituímos rn em
E(r)=-18pivarepsilon0e^2r
para obter
En = -18pivarepsilon0e^2,varepsilon0n^2h^2pi m e^2, = -m e^48varepsilon0^2h^21n^2

Resposta

En=-m e^48varepsilon0^2h^21n^2, n=1,2,3,dots

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