Aplique, se possível, o teorema de Cauchy para calcular as integrais abaixo
integral|z|=1 1z^2+2 z+2 d z

Passo 1

A gente tem a integral integral|z|=11z^2+2z+2,dz. O assunto aqui é integração de funções racionais em contornos fechados no plano complexo e vamos usar o Teorema de Cauchy (ou Teorema de Cauchy–Goursat), que diz que se a função for analítica dentro e sobre o contorno, a integral é zero. Vamos precisar identificar os pontos onde o denominador some (os polos) e ver se algum fica dentro de |z|=1.

Passo 2

Para achar as singularidades, resolvemos a equação do denominador:
z^2+2z+2=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara temos
z=-2pmraiz4-82=-1pm i
Logo, os polos são z1=-1+i e z2=-1-i.

Passo 3

Agora precisamos ver se algum desses pontos cai dentro da circunferência |z|=1. Calculando o módulo:
|-1pm i|=raiz(-1)^2+1^2=raiz2>1
Ou seja, ambos os polos estão fora da região interior ao contorno |z|=1.

Passo 4

Como não há nenhum polo dentro de |z|<1 e a função f(z)=1/(z^2+2z+2) é analítica em toda a região fechada delimitada por |z|=1, o Teorema de Cauchy garante que a integral é zero.

Resposta

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