Use uma integral de superfície para provar que
A área da superfície esférica de raio parametrizada por
onde e é igual a .
Passo 1
A questão pede para calcular a área da esfera de raio usando integral de superfície. O conteúdo envolvido é a fórmula de área de uma superfície parametrizada , que diz que
onde D é o domínio dos parâmetros (aqui uin[0,pi] e vin[0,2pi]).
Passo 2
Para encontrar ru e rv, derivamos
r(u,v)=l(asin ucos v,;asin usin v,;acos ur)
Fazendo as derivadas parciais, obtemos
ru=(acos ucos v,;acos usin v,;-asin u),
rv=(-asin usin v,;asin ucos v,;0)
Passo 3
Agora calculamos o produto vetorial
rutimesrv = i&j&k acos ucos v & acos usin v & -asin u - asin usin v & asin ucos v & 0