Use uma integral de superfície para provar que
A área da superfície esférica de raio a parametrizada por
Gamma(u, v)=a sen u cos v i+a sen u sen v j+a cos v k
onde u in[0, pi] e v in[0,2 pi] é igual a A=4 pi a^2.

Passo 1

A questão pede para calcular a área da esfera de raio a usando integral de superfície. O conteúdo envolvido é a fórmula de área de uma superfície parametrizada r(u,v), que diz que
A=integral duplaDllVertrutimesrvrrVert,du,dv
onde D é o domínio dos parâmetros (aqui uin[0,pi] e vin[0,2pi]).

Passo 2

Para encontrar ru e rv, derivamos
r(u,v)=l(asin ucos v,;asin usin v,;acos ur)
Fazendo as derivadas parciais, obtemos
ru=(acos ucos v,;acos usin v,;-asin u),
rv=(-asin usin v,;asin ucos v,;0)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial
rutimesrv = i&j&k acos ucos v & acos usin v & -asin u - asin usin v & asin ucos v & 0
Expandindo, chega-se a
rutimesrv=(a^2sin^2 ucos v,;a^2sin^2 usin v,;a^2sin ucos u)

Passo 4

Em seguida, a magnitude desse vetor é
llVertrutimesrvrrVert =raiza^4sin^4 ucos^2 v + a^4sin^4 usin^2 v + a^4sin^2 ucos^2 u = a^2sin u
Isso simplifica usando cos^2 v + sin^2 v=1 e sin^2 u(sin^2 u+cos^2 u)=sin^2 u.

Passo 5

Por fim, montamos a integral de área:
A=integralv=0^2piintegralu=0^pia^2sin u,du,dv = a^2l(integral0^2pidvr)l(integral0^pisin u,dur)
Calculando,
integral0^2pidv=2pi, integral0^pisin u,du=2,
de modo que
A=a^2cdot2picdot2=4pi a^2

Resposta

A área da esfera de raio a é 4pi a^2.

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