Determine os números complexos z tais que z^3=barz.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os números complexos z tais que z^3=z. O conteúdo principal é usar a forma polar de um número complexo e aplicar condições de módulo e argumento para equacionar z^3 e z.

Passo 2

Escrevemos z em forma polar: z = r e^itheta, onde r=|z|>=0 e theta=arg(z). Então
z^3 = r^3e^i3theta,
e
z = r e^-itheta

Passo 3

Para que z^3=z valha, devemos ter igualdade de módulo e de argumento simultaneamente.

Passo 4

Igualdade de módulo:
r^3 = r Rightarrow r(r^2-1)=0 Rightarrow r=0 ;ou; r=1

Passo 5

Caso 1: r=0. Então z=0, que de fato satisfaz 0^3=0=0.

Passo 6

Caso 2: r=1. Igualando argumentos,
e^i3theta=e^-itheta Rightarrow 3thetaequiv -thetapmod2pi Rightarrow 4theta=2pi k,;kinZ

Passo 7

Logo
theta = pi k2, k=0,1,2,3

Passo 8

Como r=1, os valores de z são
e^i0=1, e^ipi2=i, e^ipi=-1, e^i3pi2=-i

Resposta

As soluções são
0, 1, i, -1 e -i.

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