Calcule o Jacobiano das transformações em (neste caso a matriz é de ordem 3) que associam o sistema de coordenadas cartesianas com
o sistema de coordenadas cilíndricas, dada por ;
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular o Jacobiano da transformação de coordenadas cilíndricas para cartesianas . O Jacobiano é a matriz das derivadas parciais que nos diz como um elemento de volume muda ao trocar de variáveis. Vamos usar a definição .
Passo 2
Aplique a definição para montar a matriz de derivadas parciais entre e . Temos:
Logo,
Passo 3
Para encontrar o Jacobiano propriamente dito (o determinante de J), note que a matriz é triangular por blocos. Assim,
det J = 1 cdot det costheta & -rsintheta sintheta & rcostheta
Passo 4
Agora calculamos o determinante do bloco 2times2:
det J = 1 cdot l(costhetacdot rcostheta - (-rsintheta)cdot sinthetar) = r(cos^2theta + sin^2theta) = r
Passo 5
Concluímos que o Jacobiano (determinante) da transformação é r. Esse resultado é fundamental em integrais de volume em coordenadas cilíndricas, pois o elemento de volume dV vira r,dr,dtheta,dz.