Calcule o Jacobiano das transformações em R^3 (neste caso a matriz é de ordem 3) que associam o sistema de coordenadas cartesianas com
o sistema de coordenadas cilíndricas, dada por (x, y, z)=(r cos theta, r sen theta, z);

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular o Jacobiano da transformação de coordenadas cilíndricas (r,theta,z) para cartesianas (x,y,z). O Jacobiano é a matriz das derivadas parciais que nos diz como um elemento de volume muda ao trocar de variáveis. Vamos usar a definição Jij=partial xipartial uj.

Passo 2

Aplique a definição para montar a matriz de derivadas parciais entre (x,y,z) e (r,theta,z). Temos:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
Logo,
J = partial(x,y,z)partial(r,theta,z) = partial xpartial r & partial xpartial theta & partial xpartial z partial ypartial r & partial ypartial theta & partial ypartial z partial zpartial r & partial zpartial theta & partial zpartial z = costheta & -rsintheta & 0 sintheta & rcostheta & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Para encontrar o Jacobiano propriamente dito (o determinante de J), note que a matriz é triangular por blocos. Assim,
det J = 1 cdot det costheta & -rsintheta sintheta & rcostheta

Passo 4

Agora calculamos o determinante do bloco 2times2:
det J = 1 cdot l(costhetacdot rcostheta - (-rsintheta)cdot sinthetar) = r(cos^2theta + sin^2theta) = r

Passo 5

Concluímos que o Jacobiano (determinante) da transformação é r. Esse resultado é fundamental em integrais de volume em coordenadas cilíndricas, pois o elemento de volume dV vira r,dr,dtheta,dz.

Resposta

r

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