Aplique, se possível, o teorema de Cauchy para calcular as integrais abaixo
integral|z|=1 z^2z-3 d z

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral de contorno integral|z|=1 z^2z-3,dz. O assunto principal é análise complexa, mais precisamente o Teorema de Cauchy para funções analíticas e a Fórmula Integral de Cauchy.

Passo 2

O primeiro passo é identificar as singularidades de f(z)=z^2z-3. Observamos que há um único polo simples em z=3. Como o caminho de integração é o círculo |z|=1, todos os pontos com |z|<1 ficam dentro e com |z|>1 ficam fora. O ponto z=3 fica fora desse círculo.

Passo 3

Pela teoria, o Teorema de Cauchy diz que se f(z) é analítica em um domínio que contém a região interior e a fronteira de um contorno fechado, então a integral ao longo desse contorno é zero. No nosso caso, dentro e sobre |z|=1 a função f(z) não tem singularidades (o polo em 3 está fora), logo f(z) é analítica nessa região.

Passo 4

Concluindo, como não há singularidades no interior de |z|=1, a integral de z^2z-3 ao longo desse círculo é zero segundo o Teorema de Cauchy.

Resposta

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