Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de
para as equaçÔes diferenciais a seguir.
Passo 1
A equação diferencial é
. Vamos buscar uma solução em série de potências em torno de
, ou seja, assumir
e determinar os coeficientes
.
Passo 2
Substituindo
na equação e computando a segunda derivada temos:
E
Reescrevendo tudo como potências de
e batendo os índices, obtemos o somatório para
:
Passo 3
Para
e
vem:
Para
isolamos
Passo 4
Da recorrência vemos que só aparecem termos com índice congruente a
ou
módulo 4. Definindo as constantes livres
e
, obtemos:
Para
Para
Todos os outros
são zero.
Passo 5
Portanto as duas séries independentes são:
A solução geral é
Passo 6
Esse procedimento de assumir série, ajustar índices e extrair recorrência vale para várias ODEs com coeficientes analíticos em torno de
.
Resposta
z(x)=C_1\Bigl(1+\tfrac{x4}{12}+\tfrac{x8}{12\cdot56}+\tfrac{x{12}}{12\cdot56\cdot132}+\cdots\Bigr)+C_2\Bigl(x+\tfrac{x5}{20}+\tfrac{x9}{20\cdot72}+\tfrac{x{13}}{20\cdot72\cdot156}+\cdots\Bigr)