Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de x=0 para as equaçÔes diferenciais a seguir.
z^prime prime-x^2 z=0

Passo 1

A equação diferencial é z'' - x^2 z = 0. Vamos buscar uma solução em série de potências em torno de x=0, ou seja, assumir z(x)=sumn=0^inftyan x^n e determinar os coeficientes an.

Passo 2

Substituindo z(x)=sumn=0^inftyan x^n na equação e computando a segunda derivada temos:
z'' = sumn=0^inftyn(n-1)an x^n-2 = summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2x^m
E
x^2z = sumn=0^inftyan x^n+2 = summ=2^inftyam-2x^m
Reescrevendo tudo como potências de x^m e batendo os índices, obtemos o somatório para m>=0:
(m+2)(m+1)am+2 - am-2,&m>=2,0,&m=0,1 = 0

Passo 3

Para m=0 e m=1 vem:
2cdot1,a2=0implies a2=0, 3cdot2,a3=0implies a3=0
Para m>=2 isolamos
am+2 = am-2(m+2)(m+1)

Passo 4

Da recorrência vemos que só aparecem termos com índice congruente a 0 ou 1 módulo 4. Definindo as constantes livres a0=C1 e a1=C2, obtemos:
Para k>=1
a4k = a4(k-1)(4k)(4k-1),
a4k+1 = a4(k-1)+1(4k+1)(4k)
Todos os outros an são zero.

Passo 5

Portanto as duas séries independentes são:
z1(x)=1 + x^412 + x^812cdot56 + x^1212cdot56cdot132 + cdots,
z2(x)=x + x^520 + x^920cdot72 + x^1320cdot72cdot156 + cdots
A solução geral é
z(x)=C1,z1(x)+C2,z2(x)

Passo 6

Esse procedimento de assumir série, ajustar índices e extrair recorrência vale para várias ODEs com coeficientes analíticos em torno de x=0.

Resposta

z(x)=C_1\Bigl(1+\tfrac{x4}{12}+\tfrac{x8}{12\cdot56}+\tfrac{x{12}}{12\cdot56\cdot132}+\cdots\Bigr)+C_2\Bigl(x+\tfrac{x5}{20}+\tfrac{x9}{20\cdot72}+\tfrac{x{13}}{20\cdot72\cdot156}+\cdots\Bigr)

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