Use uma integral de linha para
Calcule integralgamma x z d x+(y+z) d y+x d z, onde gamma dada por x(t)=e^t, y(t)=e^-t e z(t)=e^2 t; t in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgamma xz,dx + (y+z),dy + x,dz ao longo da curva gamma dada por x(t)=e^t, y(t)=e^-t, z(t)=e^2t, tin[0,1]. O conteúdo da matéria é integral de linha de um campo vetorial. Vamos usar a fórmula
integralgamma P,dx + Q,dy + R,dz = integral0^1l(P(x(t),y(t),z(t))x'(t) + Q(x(t),y(t),z(t))y'(t) + R(x(t),y(t),z(t))z'(t)r),dt

Passo 2

Derivamos as componentes da parametrização:
Para x(t)=e^t temos x'(t)=e^t,
para y(t)=e^-t temos y'(t)=-e^-t e
para z(t)=e^2t temos z'(t)=2e^2t.
Substituímos em cada termo do integrando:
P(x,z)=xz implies xz,dx = e^tcdot e^2tcdot e^t,dt = e^4t,dt,
Q(y,z)=y+z implies (y+z),dy = (e^-t+e^2t)(-e^-tdt) = (-e^-2t-e^t),dt,
R(x)=x implies x,dz = e^tcdot 2e^2t,dt = 2e^3t,dt

Passo 3

Somando tudo, o integrando vira
e^4t + 2e^3t - e^t - e^-2t
Logo a integral é
integral0^1l(e^4t + 2e^3t - e^t - e^-2tr),dt

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral0^1e^4tdt = 14(e^4-1),
integral0^12e^3tdt = 23(e^3-1),
integral0^1-e^tdt = -(e-1) = -e +1,
integral0^1-e^-2tdt = -gl(1 - e^-22gr) = e^-22 - 12
Somando esses resultados e simplificando os termos constantes, obtemos
e^44 + 2e^33 - e + e^-22 - 512

Resposta

e^44 + 2e^33 - e + e^-22 - 512

Exercícios relacionados