1. Aplique o processo de Gram-Schmidt à base \{(1,0,1),(1,1,0)\} de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt à base \{(1,0,1),\,(1,1,0)\} de \mathbb{R}^3.
O objetivo é obter uma base ortogonal (e, se quisermos, ortonormal) que gere o mesmo subespaço.
Vamos usar a fórmula de projeção: se temos um vetor u e um vetor já ortogonal v,
\mathrm{proj}_{v}(u)=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor ortogonal como
v_{1}=u_{1}=(1,0,1).
Este será o “pivô” para projetar os demais vetores.

Passo 3

Para obter o segundo vetor ortogonal, calculamos
v_{2} = u_{2}-\mathrm{proj}_{v_{1}}(u_{2}) = (1,1,0)\;-\;\frac{\langle(1,1,0),(1,0,1)\rangle}{\langle(1,0,1),(1,0,1)\rangle}\,(1,0,1).
Aqui
\langle(1,1,0),(1,0,1)\rangle=1\quad\text{e}\quad\langle(1,0,1),(1,0,1)\rangle=2,
logo
v_{2}=(1,1,0)-\frac{1}{2}\,(1,0,1)=\Bigl(\tfrac12,\,1,\,-\tfrac12\Bigr).

Passo 4

Se quisermos uma base ortonormal, normalizamos v_{1} e v_{2}.
O comprimento de v_{1} é
\|v_{1}\|=\sqrt{2},
então
e_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,0,1).
O comprimento de v_{2} é
\|v_{2}\|=\sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}+1^{2}+\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac32}=\frac{\sqrt{6}}{2},
portanto
e_{2} =\frac{v_{2}}{\|v_{2}\|} =\Bigl(\tfrac12,\,1,\,-\tfrac12\Bigr)\cdot\frac{2}{\sqrt{6}} =\Bigl(\tfrac{\sqrt{6}}{6},\,\tfrac{\sqrt{6}}{3},\,-\tfrac{\sqrt{6}}{6}\Bigr).

Resposta

A base ortogonal obtida é
\{\,v_{1}=(1,0,1),\;v_{2}=(\tfrac12,\,1,\,-\tfrac12)\}.
A base ortonormal correspondente é
\Bigl\{\;e_{1}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1),\;e_{2}=\bigl(\tfrac{\sqrt{6}}{6},\,\tfrac{\sqrt{6}}{3},\,-\tfrac{\sqrt{6}}{6}\bigr)\Bigr\}.

Exercícios relacionados