1. Encontre a distância do ponto (1,2,3) à reta gerada por (1,1,1) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a distância do ponto P=(1,2,3) à reta que passa pela origem e tem vetor direcional v=(1,1,1) em \mathbb{R}^3. O conteúdo principal aqui é a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3, que envolve o produto vetorial.

Passo 2

A fórmula geral para a distância de um ponto P à reta que passa por A com direção v é
d \;=\; \frac{\|(P - A)\times v\|}{\|v\|}.
Como a reta passa pela origem, podemos tomar A=(0,0,0) e então P-A=P.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial entre P e v:
P\times v = \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \bigl(2\cdot1 - 3\cdot1,\;3\cdot1 - 1\cdot1,\;1\cdot1 - 2\cdot1\bigr) = (-1,\;2,\;-1).

Passo 4

Agora, as normas:
\|P\times v\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6},
\|v\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância:
d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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