Mostre que se x^{T}\left(A^{T} A\right) x=0, então A x=0. Conclua que A^{T} A é semidefinida positiva.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: uma matriz A (assumir com entradas reais) e um vetor x tal que
x^{T}\!\bigl(A^{T}A\bigr)x = 0.
  • Pede: mostrar que a partir dessa igualdade segue que A x = 0.
  • Pede também: concluir que A^{T}A é semidefinida positiva (ou seja, que para todo vetor y vale y^{T}(A^{T}A)y \ge 0).

Passo 2

Escrever x^{T}(A^{T}A)x de uma forma mais sugestiva usando propriedades da transposta.
  • Lembre que para vetores e matrizes reais vale (Ax)^{T} = x^{T}A^{T}.
  • Usando essa identidade, reescreve-se
x^{T}\!\bigl(A^{T}A\bigr)x = \bigl(Ax\bigr)^{T}\bigl(Ax\bigr).
Expliquei passo a passo: primeiro calcule Ax (é um vetor). Depois transponha: (Ax)^{T} é uma linha. Multiplicando essa linha por o mesmo vetor coluna Ax dá exatamente a expressão acima.

Passo 3

Interpretar \bigl(Ax\bigr)^{T}\bigl(Ax\bigr) como o quadrado da norma Euclidiana de Ax.
  • Definição: para um vetor v\in\mathbb{R}^{n} a norma Euclidiana é
\|v\| = \sqrt{v^{T}v},
portanto
v^{T}v = \|v\|^{2}.
  • Aplicando isso ao vetor v = Ax obtemos
\bigl(Ax\bigr)^{T}\bigl(Ax\bigr) = \|Ax\|^{2}.

Passo 4

Usar a propriedade fundamental da norma: \|v\|^{2}\ge 0 para todo v e \|v\|^{2}=0 se e somente se v=0.
  • Como \|Ax\|^{2} é soma de quadrados das componentes de Ax, tem-se \|Ax\|^{2}\ge 0.
  • Além disso, \|Ax\|^{2}=0 implica que todas as componentes de Ax são zero, ou seja, Ax=0.

Passo 5

Concluir a primeira parte: a hipótese leva diretamente a Ax=0.
  • Começando da hipótese e usando os passos anteriores:
0 = x^{T}\!\bigl(A^{T}A\bigr)x = \bigl(Ax\bigr)^{T}\bigl(Ax\bigr) = \|Ax\|^{2}.
  • Como \|Ax\|^{2}=0 implica \,Ax=0, segue que \,Ax=0.

Passo 6

Concluir que A^{T}A é semidefinida positiva.
  • Definição prática: uma matriz M é positiva semidefinida se para todo vetor y vale y^{T}My\ge 0.
  • Para M=A^{T}A e qualquer vetor y temos, pelos mesmos passos anteriores,
y^{T}\!\bigl(A^{T}A\bigr)y = \bigl(Ay\bigr)^{T}\bigl(Ay\bigr) = \|Ay\|^{2} \ge 0.
  • Portanto A^{T}A satisfaz a condição de ser semidefinida positiva.
  • Observação adicional (útil para a prova): A^{T}A é também simétrica, pois
\bigl(A^{T}A\bigr)^{T} = A^{T}(A^{T})^{T} = A^{T}A,
o que é coerente com a noção usual de matrizes (semi)definidas.

Resposta

Se \;x^{T}\!\bigl(A^{T}A\bigr)x=0\; então \;Ax=0.
A^{T}A é semidefinida positiva, pois para todo vetor y vale \;y^{T}(A^{T}A)y=\|Ay\|^{2}\ge 0.

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