Mostre que se
, então
. Conclua que
é semidefinida positiva.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: uma matriz
(assumir com entradas reais) e um vetor tal que
- Pede: mostrar que a partir dessa igualdade segue que
. - Pede também: concluir que
é semidefinida positiva (ou seja, que para todo vetor vale ).
Passo 2
Escrever
de uma forma mais sugestiva usando propriedades da transposta.
- Lembre que para vetores e matrizes reais vale
. - Usando essa identidade, reescreve-se
Expliquei passo a passo: primeiro calcule
(é um vetor). Depois transponha:
é uma linha. Multiplicando essa linha por o mesmo vetor coluna
dá exatamente a expressão acima.
Passo 3
Interpretar
como o quadrado da norma Euclidiana de
.
- Definição: para um vetor
a norma Euclidiana é
portanto
- Aplicando isso ao vetor
obtemos
Passo 4
Usar a propriedade fundamental da norma:
para todo
e
se e somente se
.
- Como
é soma de quadrados das componentes de , tem-se . - Além disso,
implica que todas as componentes de são zero, ou seja, .
Passo 5
Concluir a primeira parte: a hipótese leva diretamente a
.
- Começando da hipótese e usando os passos anteriores:
- Como
implica , segue que .
Passo 6
Concluir que
é semidefinida positiva.
- Definição prática: uma matriz
é positiva semidefinida se para todo vetor vale . - Para
e qualquer vetor temos, pelos mesmos passos anteriores,
- Portanto
satisfaz a condição de ser semidefinida positiva. - Observação adicional (útil para a prova):
é também simétrica, pois
o que é coerente com a noção usual de matrizes (semi)definidas.
Resposta
Se
então