Verifique se as matrizes abaixo são simétricas. Em caso afirmativo, calcule seus autovalores e determinante.
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 4 & 1 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede para verificar se são simétricas. Quando forem simétricas, pede também para calcular os autovalores (valores próprios) e o determinante. As matrizes são:
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
O que preciso responder:
  • Para cada matriz: é simétrica (sim/não)?
  • Se simétrica: calcular os autovalores e o determinante.]

Passo 2

O que significa ser matriz simétrica? Uma matriz M é simétrica se vale M^{T}=M, isto é, o elemento na linha i, coluna j é igual ao elemento na linha j, coluna i para todos i,j.
Vou verificar entrada a entrada.
Para A:
  • (A)_{12}=-1 e (A)_{21}=-1, OK.
  • (A)_{13}=0 e (A)_{31}=0, OK.
  • (A)_{23}=1 e (A)_{32}=1, OK.
Portanto A^{T}=A, isto é, A é simétrica.

Passo 3

Agora vou calcular os autovalores de A. Lembrete prático: os autovalores \lambda satisfazem
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 & 0\\[4pt] -1 & 3-\lambda & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante expandindo pela primeira linha (padrão e seguro para prova):
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]1 & 4-\lambda\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & 4-\lambda\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculo os dois determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]1 & 4-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(4-\lambda)-1
\quad=(12-3\lambda-4\lambda+\lambda^{2})-1=\lambda^{2}-7\lambda+11.
E
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & 4-\lambda\end{pmatrix}=-1\cdot(4-\lambda)-0=-(4-\lambda)=-4+\lambda.
Substituindo na expressão principal:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-7\lambda+11\bigr)+\bigl(-4+\lambda\bigr).
Agora desenvolvo essa expressão cuidadosamente:
(2-\lambda)(\lambda^{2}-7\lambda+11)=2\lambda^{2}-14\lambda+22-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-11\lambda.
Somando os termos e acrescentando -4+\lambda
-\lambda^{3}+(2\lambda^{2}+7\lambda^{2})+(-14\lambda-11\lambda+\lambda)+(22-4).
Isso é
-\lambda^{3}+9\lambda^{2}-24\lambda+18.
Multiplicando por -1 para ter o polinômio com coeficiente líder positivo:
\det(A-\lambda I)= -\bigl(\lambda^{3}-9\lambda^{2}+24\lambda-18\bigr).
Como o fator -1 não altera as raízes, a equação caracterísica é
\lambda^{3}-9\lambda^{2}+24\lambda-18=0.]

Passo 4

Agora fatoro o polinômio \lambda^{3}-9\lambda^{2}+24\lambda-18. Testo raízes inteiras candidatas 1,2,3,\dots. Substituindo \lambda=3:
3^{3}-9\cdot3^{2}+24\cdot3-18=27-81+72-18=0,
logo \lambda=3 é raiz. Faço a divisão polinomial por (\lambda-3) (ou uso divisão sintética). Dividindo obtém-se o quociente:
\lambda^{2}-6\lambda+6.
Então
\lambda^{3}-9\lambda^{2}+24\lambda-18=(\lambda-3)(\lambda^{2}-6\lambda+6).
Agora resolvo a quadrática \lambda^{2}-6\lambda+6=0 usando fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\cdot1\cdot6}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}.
Como \sqrt{12}=2\sqrt{3}, isso dá
\lambda=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{2}=3\pm\sqrt{3}.
Portanto os autovalores de A são
\lambda_{1}=3,\qquad \lambda_{2}=3+\sqrt{3},\qquad \lambda_{3}=3-\sqrt{3}.
Observação didática rápida: matriz simétrica tem autovalores reais — aqui verificamos isso explicitamente.

Passo 5

Determinante de A. Uma propriedade útil (e frequentemente usada em prova) é que o determinante de uma matriz é o produto dos seus autovalores (contados com multiplicidade). Assim
\det(A)=\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}=3\cdot(3+\sqrt{3})\cdot(3-\sqrt{3}).
Multiplico os dois últimos fatores como diferença de quadrados:
(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=3^{2}-(\sqrt{3})^{2}=9-3=6.
Logo
\det(A)=3\cdot6=18.
(Comentário prático: também podia-se obter o determinante direto do cálculo do polinômio característico — o termo constante até sinal dá, para matrizes 3\times3, (-1)^{3}\det(A) — mas a ideia do produto dos autovalores é mais intuitiva em provas sobre autovalores.)

Passo 6

Agora verifico B quanto à simetria. Para B os elementos relevantes:
(B)_{23}=-1,\qquad (B)_{32}=4.
Como (B)_{23}\neq(B)_{32}, temos B^{T}\neq B. Portanto B não é simétrica.
De acordo com o enunciado, apenas se a matriz for simétrica é necessário calcular autovalores e determinante; como B não é simétrica, não calculo autovalores nem determinante para B.

Resposta

A é simétrica; autovalores: \;3,\;3+\sqrt{3},\;3-\sqrt{3}; \det(A)=18.
B não é simétrica.

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