O enunciado dá duas matrizes A e B e pede para verificar se são simétricas. Quando forem simétricas, pede também para calcular os autovalores (valores próprios) e o determinante. As matrizes são:
Se simétrica: calcular os autovalores e o determinante.]
Passo 2
O que significa ser matriz simétrica? Uma matriz M é simétrica se vale M^{T}=M, isto é, o elemento na linha i, coluna j é igual ao elemento na linha j, coluna i para todos i,j.
Vou verificar entrada a entrada.
Para A:
(A)_{12}=-1 e (A)_{21}=-1, OK.
(A)_{13}=0 e (A)_{31}=0, OK.
(A)_{23}=1 e (A)_{32}=1, OK.
Portanto A^{T}=A, isto é, A é simétrica.
Passo 3
Agora vou calcular os autovalores de A. Lembrete prático: os autovalores \lambda satisfazem
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Primeiro escrevo A-\lambda I:
Observação didática rápida: matriz simétrica tem autovalores reais — aqui verificamos isso explicitamente.
Passo 5
Determinante de A. Uma propriedade útil (e frequentemente usada em prova) é que o determinante de uma matriz é o produto dos seus autovalores (contados com multiplicidade). Assim
(Comentário prático: também podia-se obter o determinante direto do cálculo do polinômio característico — o termo constante até sinal dá, para matrizes 3\times3, (-1)^{3}\det(A) — mas a ideia do produto dos autovalores é mais intuitiva em provas sobre autovalores.)
Passo 6
Agora verifico B quanto à simetria. Para B os elementos relevantes:
(B)_{23}=-1,\qquad (B)_{32}=4.
Como (B)_{23}\neq(B)_{32}, temos B^{T}\neq B. Portanto B não é simétrica.
De acordo com o enunciado, apenas se a matriz for simétrica é necessário calcular autovalores e determinante; como B não é simétrica, não calculo autovalores nem determinante para B.
Resposta
A é simétrica; autovalores: \;3,\;3+\sqrt{3},\;3-\sqrt{3}; \det(A)=18. B não é simétrica.