Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de
em uma base ortonormal:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a base
de
formada por dois vetores:
A tarefa é aplicar o processo de Gram–Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal de
. Ou seja, encontrar dois vetores unitários
tais que
seja ortonormal e gere o mesmo subespaço que
.
Passo 2
Vou explicar o algoritmo de Gram–Schmidt que vou usar (fórmulas e significado de cada símbolo).
- Primeiro escolhe-se a ordem dos vetores originais; aqui usarei
e depois . - Define-se
e normaliza-se para obter :
Aqui
é a norma Euclidiana de
, dada por
. O produto interno (produto escalar) em
é
.
- Para o segundo vetor, subtrai-se a projeção de
sobre (isto garante ortogonalidade):
- Depois normaliza-se
para obter :
Ao final,
será ortonormal. Agora aplico essas fórmulas aos vetores dados, fazendo todas as contas passo a passo.
Passo 3
Calcular
, sua norma e
.
- Tomo
. - Calculo o produto
:
- A norma é
. - Normalizando:
Portanto
é um vetor unitário na direção de
.
Passo 4
Calcular a projeção de
sobre
e obter
.
- Primeiro o produto
:
- Já sabemos
. Assim o fator da projeção é . - A projeção é
- Subtraindo de
obtemos :
Agora faço as contas coordenada a coordenada:
Portanto
Passo 5
Calcular a norma de
e normalizar para obter
.
- Primeiro compute
:
Calculo os quadrados:
Assim
- A norma é
Observação:
porque
. Então
- Agora normalizo
:
Dividindo frações equivale a multiplicar pelo inverso:
Simplificando por
:
.
Do mesmo modo
Do mesmo modo
Portanto
Passo 6
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
- Normas:
- Ortogonalidade:
Portanto
e
são ortogonais e unitários, isto é, formam uma base ortonormal.
Passo 7
Resumo final: a base ortonormal obtida por Gram–Schmidt a partir de
é formada pelos vetores
Força aí — com estes passos você consegue replicar Gram–Schmidt em outras bases também!