Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de \mathbb{R}^{n} em uma base ortonormal:
B=\{(4,-3),(3,2)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá a base B de \mathbb{R}^2 formada por dois vetores:
v_1=(4,-3),\qquad v_2=(3,2).
A tarefa é aplicar o processo de Gram–Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal de \mathbb{R}^2. Ou seja, encontrar dois vetores unitários u_1,u_2 tais que \{u_1,u_2\} seja ortonormal e gere o mesmo subespaço que \{v_1,v_2\}.

Passo 2

Vou explicar o algoritmo de Gram–Schmidt que vou usar (fórmulas e significado de cada símbolo).
  • Primeiro escolhe-se a ordem dos vetores originais; aqui usarei v_1 e depois v_2.
  • Define-se w_1 = v_1 e normaliza-se para obter u_1:
u_1=\frac{w_1}{\|w_1\|}.
Aqui \|w_1\| é a norma Euclidiana de w_1, dada por \|w_1\|=\sqrt{w_1\cdot w_1}. O produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^2 é a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2.
  • Para o segundo vetor, subtrai-se a projeção de v_2 sobre w_1 (isto garante ortogonalidade):
w_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{w_1}(v_2), \qquad \operatorname{proj}_{w_1}(v_2)=\frac{v_2\cdot w_1}{w_1\cdot w_1}\,w_1.
  • Depois normaliza-se w_2 para obter u_2:
u_2=\frac{w_2}{\|w_2\|}.
Ao final, \{u_1,u_2\} será ortonormal. Agora aplico essas fórmulas aos vetores dados, fazendo todas as contas passo a passo.

Passo 3

Calcular w_1, sua norma e u_1.
  • Tomo w_1 = v_1 = (4,-3).
  • Calculo o produto w_1\cdot w_1:
w_1\cdot w_1 = 4^2 + (-3)^2 = 16+9 = 25.
  • A norma é \|w_1\|=\sqrt{25}=5.
  • Normalizando:
u_1=\frac{w_1}{\|w_1\|}=\frac{(4,-3)}{5}=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right).
Portanto u_1 é um vetor unitário na direção de v_1.

Passo 4

Calcular a projeção de v_2 sobre w_1 e obter w_2.
  • Primeiro o produto v_2\cdot w_1:
v_2\cdot w_1 = (3,2)\cdot(4,-3)=3\cdot4 + 2\cdot(-3)=12-6=6.
  • Já sabemos w_1\cdot w_1=25. Assim o fator da projeção é \dfrac{v_2\cdot w_1}{w_1\cdot w_1}=\dfrac{6}{25}.
  • A projeção é
\operatorname{proj}_{w_1}(v_2)=\frac{6}{25}\,(4,-3)=\left(\frac{24}{25},-\frac{18}{25}\right).
  • Subtraindo de v_2 obtemos w_2:
w_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{w_1}(v_2) = \left(3,2\right) - \left(\frac{24}{25},-\frac{18}{25}\right).
Agora faço as contas coordenada a coordenada:
\text{primeira coord.: } 3 - \frac{24}{25} = \frac{75}{25}-\frac{24}{25}=\frac{51}{25},
\text{segunda coord.: } 2 - \left(-\frac{18}{25}\right)=2+\frac{18}{25}=\frac{50}{25}+\frac{18}{25}=\frac{68}{25}.
Portanto
w_2=\left(\frac{51}{25},\frac{68}{25}\right).

Passo 5

Calcular a norma de w_2 e normalizar para obter u_2.
  • Primeiro compute w_2\cdot w_2:
w_2\cdot w_2=\left(\frac{51}{25}\right)^2+\left(\frac{68}{25}\right)^2 =\frac{51^2+68^2}{25^2}.
Calculo os quadrados:
51^2=2601,\qquad 68^2=4624,\qquad 2601+4624=7225.
Assim
w_2\cdot w_2=\frac{7225}{625}.
  • A norma é
\|w_2\|=\sqrt{\frac{7225}{625}}=\frac{\sqrt{7225}}{25}.
Observação: \sqrt{7225}=85 porque 85^2=7225. Então
\|w_2\|=\frac{85}{25}=\frac{17}{5}.
  • Agora normalizo w_2:
u_2=\frac{w_2}{\|w_2\|} =\left(\frac{51/25}{17/5},\;\frac{68/25}{17/5}\right).
Dividindo frações equivale a multiplicar pelo inverso:
\frac{51/25}{17/5}=\frac{51}{25}\cdot\frac{5}{17}=\frac{51\cdot5}{25\cdot17}=\frac{255}{425}.
Simplificando por 5: \dfrac{255}{425}=\dfrac{51}{85}.
Do mesmo modo
\frac{68/25}{17/5}=\frac{68}{25}\cdot\frac{5}{17}=\frac{340}{425}=\frac{68}{85}.
Portanto
u_2=\left(\frac{51}{85},\frac{68}{85}\right).

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Normas:
\|u_1\|=\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(-\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16+9}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
\|u_2\|=\sqrt{\left(\frac{51}{85}\right)^2+\left(\frac{68}{85}\right)^2} =\frac{\sqrt{51^2+68^2}}{85}=\frac{\sqrt{7225}}{85}=\frac{85}{85}=1.
  • Ortogonalidade:
u_1\cdot u_2=\frac{4}{5}\cdot\frac{51}{85} + \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{68}{85} =\frac{1}{425}\,(4\cdot51 - 3\cdot68) =\frac{1}{425}\,(204-204)=0.
Portanto u_1 e u_2 são ortogonais e unitários, isto é, formam uma base ortonormal.

Passo 7

Resumo final: a base ortonormal obtida por Gram–Schmidt a partir de B é formada pelos vetores
u_1=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right),\qquad u_2=\left(\frac{51}{85},\frac{68}{85}\right).
Força aí — com estes passos você consegue replicar Gram–Schmidt em outras bases também!

Resposta

\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right)
\left(\dfrac{51}{85},\dfrac{68}{85}\right)

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