Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de \mathbb{R}^{n} em uma base ortonormal:
B=\{(0,1),(2,5)\}.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o processo de Gram–Schmidt à base B=\{(0,1),(2,5)\} de \mathbb{R}^n (aqui, claramente, \mathbb{R}^2) para obter uma base ortonormal.
Informações dadas:
  • Vetor v_1=(0,1).
  • Vetor v_2=(2,5).
    O objetivo final é produzir vetores unitários e_1,e_2 tais que \{e_1,e_2\} seja ortonormal e gere o mesmo subespaço que \{v_1,v_2\}.

Passo 2

Apresentação do método (fórmulas e significado das variáveis). Gram–Schmidt transforma uma sequência linearmente independente v_1,v_2,\dots em uma sequência ortogonal u_1,u_2,\dots e depois normaliza para obter e_i. As fórmulas básicas para dois vetores são:
u_1 = v_1, \qquad u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2,
onde a projeção de v sobre u é
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.
Aqui v\cdot u é o produto interno euclidiano (soma dos produtos das componentes) e u\cdot u=\|u\|^2 é o quadrado da norma. Depois obtemos os vetores unitários
e_i=\frac{u_i}{\|u_i\|},
ou seja, divide-se cada u_i pela sua norma \|u_i\|=\sqrt{u_i\cdot u_i}. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos vetores dados.

Passo 3

Calcular u_1 e normalizá-lo. Tomando v_1=(0,1) temos
u_1=v_1=(0,1).
Calcular a norma de u_1:
\|u_1\|=\sqrt{u_1\cdot u_1}=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1.
Portanto o vetor unitário correspondente é
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{(0,1)}{1}=(0,1).
Comentário amigável: aqui v_1 já tinha norma 1, então e_1 ficou igual a v_1.

Passo 4

Calcular a projeção de v_2 sobre u_1. Temos v_2=(2,5) e u_1=(0,1). Primeiro o produto interno:
v_2\cdot u_1 = 2\cdot 0 + 5\cdot 1 = 5.
E u_1\cdot u_1=\|u_1\|^2=1^2=1. Assim
\operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1 = \frac{5}{1}(0,1) = (0,5).
Repare que peguei explicitamente os números dos vetores dados para calcular o produto interno e a projeção.

Passo 5

Formar u_2 subtraindo a projeção de v_2:
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = (2,5) - (0,5) = (2,0).
Verificação rápida: u_2 é ortogonal a u_1 porque u_2\cdot u_1 = 2\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.

Passo 6

Normalizar u_2. Calcular a norma:
\|u_2\|=\sqrt{u_2\cdot u_2}=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}=2.
Então o vetor unitário é
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{(2,0)}{2}=(1,0).

Passo 7

Conclusão e checagem final. Os vetores obtidos são
e_1=(0,1),\qquad e_2=(1,0).
Eles têm norma 1 e são mutuamente ortogonais porque e_1\cdot e_2=0. Assim \{e_1,e_2\} é uma base ortonormal que gera o mesmo subespaço que \{v_1,v_2\}. Observação prática: podia-se também obter (-1,0) ou (0,-1) trocando o sinal de algum vetor; sinales opostos também formam uma base ortonormal válida.

Resposta

\{(0,1),(1,0)\}

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