Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de
em uma base ortonormal:
.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o processo de Gram–Schmidt à base
de
(aqui, claramente,
) para obter uma base ortonormal.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Vetor
. - Vetor
.
O objetivo final é produzir vetores unitáriostais que seja ortonormal e gere o mesmo subespaço que .
Passo 2
Apresentação do método (fórmulas e significado das variáveis). Gram–Schmidt transforma uma sequência linearmente independente
em uma sequência ortogonal
e depois normaliza para obter
. As fórmulas básicas para dois vetores são:
onde a projeção de
sobre
é
Aqui
é o produto interno euclidiano (soma dos produtos das componentes) e
é o quadrado da norma. Depois obtemos os vetores unitários
ou seja, divide-se cada
pela sua norma
. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos vetores dados.
Passo 3
Calcular
e normalizá-lo. Tomando
temos
Calcular a norma de
:
Portanto o vetor unitário correspondente é
Comentário amigável: aqui
já tinha norma
, então
ficou igual a
.
Passo 4
Calcular a projeção de
sobre
. Temos
e
. Primeiro o produto interno:
E
. Assim
Repare que peguei explicitamente os números dos vetores dados para calcular o produto interno e a projeção.
Passo 5
Formar
subtraindo a projeção de
:
Verificação rápida:
é ortogonal a
porque
.
Passo 6
Normalizar
. Calcular a norma:
Então o vetor unitário é
Passo 7
Conclusão e checagem final. Os vetores obtidos são
Eles têm norma
e são mutuamente ortogonais porque
. Assim
é uma base ortonormal que gera o mesmo subespaço que
. Observação prática: podia-se também obter
ou
trocando o sinal de algum vetor; sinales opostos também formam uma base ortonormal válida.