aplique o Processo de Ortoponalização de Gram-Schmidt na base \mathcal{B} para obter uma hase ortogonal para o espaço V, com produto interno, relama ao produto interno dado. V=\mathbb{R}^{2}, \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}, com o produto interno do Exemplo 3.
Passo 1
O enunciado nos dá:
O espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2}.
A base inicial \mathcal{B}=\left\{\;v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\;v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\;\right\}.
Pede-se: aplicar o Processo de Ortogonalização de Gram–Schmidt em \mathcal{B} para obter uma base ortogonal de V relativa ao produto interno do “Exemplo 3”.
Informação faltante e consequência: o enunciado refere-se a um “produto interno do Exemplo 3”, mas esse produto interno específico não foi fornecido aqui. Sem a definição explícita do produto interno (por exemplo, sem a matriz que o representa na base canônica), não é possível calcular valores numéricos concretos. Portanto a solução numérica específica depende dessa definição faltante. Vou, então, apresentar:
a versão simbólica e completa do Gram–Schmidt para estes vetores, usando a matriz genérica do produto interno na base canônica;
e as fórmulas finais (prontas para serem avaliadas) que permitem obter a base ortogonal e, se desejado, a base ortonormal assim que os parâmetros do produto interno forem conhecidos.]
Passo 2
Relembrando o objetivo e a fórmula do Gram–Schmidt (aula rápida e prática).
Objetivo do Gram–Schmidt: dado um conjunto linearmente independente \{v_1,v_2,\dots\} num espaço com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle, construir um conjunto ortogonal \{u_1,u_2,\dots\} que gere o mesmo subespaço.
Para dois vetores v_1,v_2 a regra é:u_1 = v_1, \qquad u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1.Explicando: \langle v_2,u_1\rangle é a “projeção” de v_2 sobre u_1 (em forma escalar); dividimos por \langle u_1,u_1\rangle para ter o coeficiente escalar da projeção; subtraindo dessa projeção removemos da v_2 a componente paralela a u_1, sobrando apenas a parte ortogonal a u_1.
Passo 3
Representação do produto interno de forma prática (como fazer quando o produto interno não é o padrão).
Qualquer produto interno em \mathbb{R}^2 pode ser escrito, na base canônica \{e_1,e_2\}, por uma matriz simétrica definida positivaG=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix},onde a=\langle e_1,e_1\rangle, b=\langle e_1,e_2\rangle=\langle e_2,e_1\rangle, c=\langle e_2,e_2\rangle. A condição de produto interno impõe a>0 e ac-b^2>0.
Para vetores x,y\in\mathbb{R}^2 escritos em coordenadas canônicas, tem-se\langle x,y\rangle = x^{T} G y.
Vou usar essa representação para calcular simbolicamente os produtos necessários.]
Passo 4
Calcular os produtos internos necessários entre v_1 e v_2 usando G.
Primeiro, identifique v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Faça a subtração componente a componente:u_2 = \begin{pmatrix}1 - \dfrac{a+b}{a} \\[6pt] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{b}{a} \\[6pt] 1 \end{pmatrix}.]
Passo 6
Verificar ortogonalidade e validade (passo a passo, para você poder repetir na prova).
Calcule \langle u_2,u_1\rangle:\langle u_2,u_1\rangle = \langle v_2,v_1\rangle - \frac{\langle v_2,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}\langle v_1,v_1\rangle = (a+b) - \frac{a+b}{a}\,a = 0.Portanto u_2 é de fato ortogonal a u_1.
Observação sobre não degeneração: \langle u_2,u_2\rangle vale\langle u_2,u_2\rangle = c - \frac{b^{2}}{a},que é positivo porque ac-b^{2}>0 (condição de matriz definida positiva). Logo u_2\neq 0 e então \{u_1,u_2\} é uma base ortogonal de V.
Passo 7
Se você quiser também uma base ortonormal (muito útil em provas), normalize cada vetor usando as normas induzidas pelo produto interno.
Norma de u_1: \|u_1\| = \sqrt{\langle u_1,u_1\rangle} = \sqrt{a}.
Então a base ortonormal correspondente ée_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}, \qquad e_2 = \frac{1}{\sqrt{\,c - \dfrac{b^{2}}{a}\,}}\begin{pmatrix} -\dfrac{b}{a} \\[6pt] 1 \end{pmatrix}.Essas expressões são prontas para avaliação numérica assim que a,b,c forem conhecidos (ou seja, assim que o produto interno do Exemplo 3 for fornecido).]