aplique o Processo de Ortoponalização de Gram-Schmidt na base \mathcal{B} para obter uma hase ortogonal para o espaço V, com produto interno, relama ao produto interno dado.
V=\mathbb{R}^{2}, \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}, com o produto interno do Exemplo 2.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Aplicar o Processo de Ortogonalização de Gram–Schmidt na base \mathcal{B} para obter uma base ortogonal de V=\mathbb{R}^2 relativa ao produto interno indicado.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • O espaço vetorial: V=\mathbb{R}^{2}.
  • A base inicial: \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}. Vou chamar os vetores de
v_1=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right],\qquad v_2=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right].
  • O produto interno é “o produto interno do Exemplo 2” — porém o enunciado não trouxe a definição explícita desse produto interno. Esse dado é necessário para calcular quantidades do Gram–Schmidt (projeções dependem do produto interno).
O que falta e por que é importante:
  • Para efetivamente calcular os coeficientes de projeção e obter vetores numéricos ortogonais, é preciso saber a fórmula concreta do produto interno (por exemplo, o produto interno padrão \langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2, ou outro definido por uma matriz simétrica positiva). Sem essa definição não é possível obter os valores numéricos finais.]

Passo 2

Breve aula: Gram–Schmidt em um espaço com produto interno (ideia e fórmulas).
  • Objetivo: a partir de vetores linearmente independentes v_1,\dots,v_n construir vetores u_1,\dots,u_n que sejam mutuamente ortogonais (ou ortonormais, se normalizados).
  • Passo básico para dois vetores: u_1 = v_1,
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2),
onde a projeção de v sobre u relativa a um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle é
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
  • Explicando as quantidades:
    • \langle v,u\rangle é o produto interno entre v e u.
    • \langle u,u\rangle é o quadrado da norma de u relativa a esse produto interno (sempre positivo se u\neq 0).
    • O coeficiente \dfrac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle} é um número escalar que diz "quanto de u" está em v; subtrair a projeção deixa a componente de v ortogonal a u.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao caso concreto (forma simbólica porque o produto interno não foi dado).
  • Tome v_1=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]0\end{smallmatrix}\right] e v_2=\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right].
  • Pelo algoritmo: u_1 = v_1 = \left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right].
u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1.
  • Definindo abreviações numéricas que dependem do produto interno: N:=\langle v_2,u_1\rangle=\left\langle\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right]\right\rangle, \qquad D:=\langle u_1,u_1\rangle=\left\langle\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right]\right\rangle.Assim, o segundo vetor ortogonal fica u_2 = \left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right] - \frac{N}{D}\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1-\dfrac{N}{D}\\[8pt]1\end{array}\right].
  • Observação: para obter o valor numérico de u_2 é obrigatório saber N e D, i.e., os valores dos produtos internos mencionados. Esses valores dependem integralmente da definição do produto interno do “Exemplo 2”.]

Passo 4

Análise do caso genérico e verificação de ortogonalidade (argumento simbólico).
  • Pela construção, \langle u_2,u_1\rangle = \langle v_2,u_1\rangle - \dfrac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\langle u_1,u_1\rangle = 0. Isso mostra que a fórmula simbólica acima assegura ortogonalidade independentemente do produto interno, desde que \langle u_1,u_1\rangle\neq 0.
  • Portanto a base ortogonal resultante é \{u_1,u_2\} com u_1 e u_2 dados simbolicamente por: u_1=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right],\qquad u_2=\left[\begin{array}{c}1-\dfrac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\\[8pt]1\end{array}\right].
  • Para obter componentes numéricas é preciso substituir os valores de \langle v_2,u_1\rangle e \langle u_1,u_1\rangle conforme o produto interno específico.]

Passo 5

Exemplo totalmente calculado (assumindo o produto interno padrão) — útil para ver como fica na prática.
  • Se o produto interno for o produto interno usual em \mathbb{R}^2, \langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2,então calcule: \langle v_2,u_1\rangle = (1)\cdot(1)+(1)\cdot(0)=1, \qquad \langle u_1,u_1\rangle = (1)\cdot(1)+(0)\cdot(0)=1.Logo u_2 = \left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right] - \frac{1}{1}\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\[4pt]1\end{array}\right].
  • Verificação da ortogonalidade (produto interno padrão): \langle u_1,u_2\rangle = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0,portanto \{u_1,u_2\}=\left\{\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix}0\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right]\right\} é uma base ortogonal (na verdade ortonormal neste caso).
  • Normalização (se quiser base ortonormal): dividir cada u_i por \sqrt{\langle u_i,u_i\rangle}. No exemplo padrão, ambos já têm norma 1.]

Passo 6

Conclusão prática e o que falta para resolver exatamente o enunciado original.
  • Conclusão lógica: sem a definição explícita do “produto interno do Exemplo 2” não é possível fornecer os valores numéricos finais para a base ortogonal pedida no enunciado. O procedimento de Gram–Schmidt foi mostrado e aplicado simbolicamente; basta substituir os produtos internos reais do Exemplo 2 nas fórmulas simbólicas para obter os vetores concretos.
  • Como ajuda prática: se o produto interno do Exemplo 2 for o produto interno usual em \mathbb{R}^2, então a base ortogonal resultante é \left\{\left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix}0\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right]\right\}.]

Resposta

Não é possível obter numericamente a base ortogonal porque o enunciado não forneceu a definição explícita do “produto interno do Exemplo 2”.
Se o produto interno for o produto interno usual em \mathbb{R}^2, então uma base ortogonal é \left\{\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]1\end{array}\right]\right\}.]

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