Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes (de uma transformação linear): v=(1,1,2), \quad A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado fornece:
O vetor \,v=(1,1,2).
A matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 3\end{pmatrix}.
A pergunta é: verificar, usando a definição, se \,v é um autovetor de \,A. Em outras palavras: existe um escalar \lambda tal que \,A v = \lambda v? Se sim, qual é esse \lambda?]
Passo 2
Recordando a definição (passo didático): um vetor não nulo \,v é autovetor de uma matriz \,A se existir um escalar \lambda (autovalor) tal que
A v = \lambda v.
Para verificar isso na prática calculamos \,A v (produto matriz por vetor) e comparamos componente a componente com um múltiplo escalar de \,v. Lembre que multiplicação matriz-por-vetor é feita fazendo o produto escalar de cada linha de \,A com o vetor \,v.
Passo 3
Calcular a primeira componente de \,A v. Usando a primeira linha de \,A, que é (1,1,1), e o vetor \,v=(1,1,2), obtemos:
Conclusão e interpretação didática: encontramos um escalar \lambda=4 tal que \,A v = \lambda v. Isso satisfaz exatamente a definição de autovetor/autovalor. Observação prática rápida para prova: quando o vetor candidato tem todas as componentes não nulas pode-se calcular \lambda como qualquer quociente \dfrac{(Av)_i}{v_i} e checar igualdade entre eles; se alguma componente de \,v for zero, comparar apenas as componentes correspondentes não nulas e garantir coerência.
Resposta
Sim. \,v é autovetor de \,A com autovalor \lambda=4.