Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes (de uma transformação linear):
v=(1,1,2), \quad A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O vetor \,v=(1,1,2).
  • A matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 3\end{pmatrix}.
    A pergunta é: verificar, usando a definição, se \,v é um autovetor de \,A. Em outras palavras: existe um escalar \lambda tal que \,A v = \lambda v? Se sim, qual é esse \lambda?]

Passo 2

Recordando a definição (passo didático): um vetor não nulo \,v é autovetor de uma matriz \,A se existir um escalar \lambda (autovalor) tal que
A v = \lambda v.
Para verificar isso na prática calculamos \,A v (produto matriz por vetor) e comparamos componente a componente com um múltiplo escalar de \,v. Lembre que multiplicação matriz-por-vetor é feita fazendo o produto escalar de cada linha de \,A com o vetor \,v.

Passo 3

Calcular a primeira componente de \,A v. Usando a primeira linha de \,A, que é (1,1,1), e o vetor \,v=(1,1,2), obtemos:
\text{1ª componente} = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 2 = 1 + 1 + 2 = 4.ª

Passo 4

Calcular a segunda e a terceira componentes de \,A v.
  • Segunda componente: usar a segunda linha de \,A, que é (0,2,1):
\text{2ª componente} = 0\cdot 1 + 2\cdot 1 + 1\cdot 2 = 0 + 2 + 2 = 4.ª
  • Terceira componente: usar a terceira linha de \,A, que é (0,2,3):
\text{3ª componente} = 0\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 2 = 0 + 2 + 6 = 8.ª

Passo 5

Reunindo as componentes, temos
A v = (4,4,8).
Agora verificamos se existe \lambda tal que (4,4,8)=\lambda(1,1,2). Para isso basta ver se os quocientes componente a componente são iguais:
\frac{4}{1} = 4,\qquad \frac{4}{1} = 4,\qquad \frac{8}{2} = 4.
Todos dão o mesmo número \,4. Logo
A v = 4\,(1,1,2) = 4 v.

Passo 6

Conclusão e interpretação didática: encontramos um escalar \lambda=4 tal que \,A v = \lambda v. Isso satisfaz exatamente a definição de autovetor/autovalor. Observação prática rápida para prova: quando o vetor candidato tem todas as componentes não nulas pode-se calcular \lambda como qualquer quociente \dfrac{(Av)_i}{v_i} e checar igualdade entre eles; se alguma componente de \,v for zero, comparar apenas as componentes correspondentes não nulas e garantir coerência.

Resposta

Sim. \,v é autovetor de \,A com autovalor \lambda=4.

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