Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo.
y=\frac{\left(x^{2}-5\right)^{2}}{\left(x^{2}+4\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\dfrac{(x^{2}-5)^{2}}{(x^{2}+4)^{3}}
Usaremos regra do produto e regra da cadeia, reescrevendo a função como produto de duas funções compostas.

Passo 2

Reescrevemos y=(x^{2}-5)^{2}\,(x^{2}+4)^{-3}.
Assim temos duas funções: u(x)=(x^{2}-5)^{2} e v(x)=(x^{2}+4)^{-3}.

Passo 3

Calculamos u'(x) usando cadeia em u(x)=[w(x)]^{2} com w(x)=x^{2}-5: w'(x)=2x, logo
u'(x)=2\,w(x)\,w'(x)=2\,(x^{2}-5)\,2x=4x\,(x^{2}-5).

Passo 4

Calculamos v'(x) usando cadeia em v(x)=[z(x)]^{-3} com z(x)=x^{2}+4: z'(x)=2x, logo
v'(x)=-3\,[z(x)]^{-4}\,z'(x)=-3\,(x^{2}+4)^{-4}\,2x=-6x\,(x^{2}+4)^{-4}.

Passo 5

Aplicamos a regra do produto:
y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo
y'=4x\,(x^{2}-5)\,(x^{2}+4)^{-3} \;+\;(x^{2}-5)^{2}\bigl[-6x\,(x^{2}+4)^{-4}\bigr].

Passo 6

Fatoramos 2x\,(x^{2}-5)\,(x^{2}+4)^{-4}:
y'=2x\,(x^{2}-5)\,(x^{2}+4)^{-4}\bigl[2\,(x^{2}+4)\;-\;3\,(x^{2}-5)\bigr].

Passo 7

Simplificamos o colchete:
2(x^{2}+4)-3(x^{2}-5)=2x^{2}+8-3x^{2}+15=-x^{2}+23.
Logo
y'=2x\,(x^{2}-5)\,(23 - x^{2})\,(x^{2}+4)^{-4}.

Resposta

y'=\frac{2x\,(x^{2}-5)\,(23 - x^{2})}{(x^{2}+4)^{4}}.

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