Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo.
y=(2 x-5)^{-2} \cdot(4 x+3)^{-3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = (2x - 5)^{-2}\,(4x + 3)^{-3}
usando a regra do produto e a regra da cadeia (para funções potência compostas).

Passo 2

Definimos
u = (2x - 5)^{-2} \quad\text{e}\quad v = (4x + 3)^{-3}.
Pela regra do produto,
y' = u'\,v + u\,v'.

Passo 3

Para u = (2x - 5)^{-2}, aplicamos a cadeia. Seja \omega = 2x - 5, então
u = \omega^{-2},\quad \omega' = 2 \quad\Longrightarrow\quad u' = -2\,\omega^{-3}\,\omega' = -2\,(2x-5)^{-3}\cdot2 = -4\,(2x-5)^{-3}.

Passo 4

Para v = (4x + 3)^{-3}, seja \zeta = 4x + 3. Então
v = \zeta^{-3},\quad \zeta' = 4 \quad\Longrightarrow\quad v' = -3\,\zeta^{-4}\,\zeta' = -3\,(4x+3)^{-4}\cdot4 = -12\,(4x+3)^{-4}.

Passo 5

Substituindo u' e v' em y' = u'v + u v':
y' = -4\,(2x-5)^{-3}\,(4x+3)^{-3} \;+\;(2x-5)^{-2}\,\bigl(-12\,(4x+3)^{-4}\bigr).
Colocando o fator comum (2x-5)^{-3}(4x+3)^{-4}, obtemos
y' = (2x-5)^{-3}(4x+3)^{-4}\bigl(-4(4x+3)-12(2x-5)\bigr).
Dentro do parêntese:
-4(4x+3)-12(2x-5) = -16x-12 -24x+60 = -40x+48.
Portanto
y' = \frac{-40x+48}{(2x-5)^{3}(4x+3)^{4}}.

Resposta

y' = \frac{-40x + 48}{(2x - 5)^{3}\,(4x + 3)^{4}}.

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