Aplique a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo.
h(x)=\left(\frac{x+4}{2 x^{2}-5 x+6}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\Bigl(\frac{x+4}{2x^{2}-5x+6}\Bigr)^{3}.
O conteúdo chave aqui é a regra da cadeia, aplicada a uma potência, junto com a regra do quociente para derivar o que está dentro da potência.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{x+4}{2x^{2}-5x+6},
de modo que
h(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{3}.
Pela regra da cadeia,
h'(x)=3\bigl(u(x)\bigr)^{2}\,u'(x).

Passo 3

Derivamos u(x) usando a regra do quociente. Seja
N(x)=x+4,\quad D(x)=2x^{2}-5x+6.
Então N'(x)=1 e D'(x)=4x-5, e
u'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{\bigl(D(x)\bigr)^{2}} =\frac{(2x^{2}-5x+6)- (x+4)(4x-5)}{(2x^{2}-5x+6)^{2}}.
No numerador temos
2x^{2}-5x+6 - \bigl(4x^{2}+11x-20\bigr) =-2x^{2}-16x+26 =-2\,(x^{2}+8x-13).
Logo
u'(x) =-2\,\frac{x^{2}+8x-13}{(2x^{2}-5x+6)^{2}}.

Passo 4

Substituindo em h'(x)=3[u(x)]^{2}u'(x), obtemos
h'(x) =3\left(\frac{x+4}{2x^{2}-5x+6}\right)^{2} \;\Bigl(-2\frac{x^{2}+8x-13}{(2x^{2}-5x+6)^{2}}\Bigr).
Agrupando fatores semelhantes, fica
h'(x) =-6\,\frac{(x+4)^{2}\,(x^{2}+8x-13)}{(2x^{2}-5x+6)^{4}}.

Resposta

h'(x)=-6\,\frac{(x+4)^{2}\,(x^{2}+8x-13)}{(2x^{2}-5x+6)^{4}}.

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