Aplique a regra da cadeia para calcular as seguintes derivadas:
(a) ; f(x)=raizx^2-3 x-9

Passo 1

Vamos derivar a função f(x)=√(x²−3x−9) usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivada de função composta, onde temos uma raiz (que pode ser vista como potência 1/2) aplicada a um polinômio.

Passo 2

Definimos a função interna u(x)=x²−3x−9. Assim, f(x) pode ser reescrita como f(x)=[u(x)]^(1/2).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u’(x)=d/dx(x²−3x−9)=2x−3.

Passo 4

Agora derivamos a parte externa g(u)=u^(1/2). Pela regra da potência, temos:
g’(u)=d/du(u(1/2))=1/2·u(−1/2)=1/(2√u).

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de f em relação a x é g’(u(x))·u’(x). Logo,
f’(x)=1/(2√(u(x)))·(2x−3).

Passo 6

Substituímos u(x) de volta e simplificamos: f’(x)=(2x−3)/(2√(x²−3x−9)).

Resposta

f'(x)=2x-32raizx^2-3x-9

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