Aplique a regra da cadeia para calcular as seguintes derivadas:
Passo 1
Vamos derivar a função f(x)=√(x²−3x−9) usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivada de função composta, onde temos uma raiz (que pode ser vista como potência 1/2) aplicada a um polinômio.
Passo 2
Definimos a função interna u(x)=x²−3x−9. Assim, f(x) pode ser reescrita como f(x)=[u(x)]^(1/2).
Passo 3
Calculamos a derivada de u(x):
u’(x)=d/dx(x²−3x−9)=2x−3.
Passo 4
Agora derivamos a parte externa g(u)=u^(1/2). Pela regra da potência, temos:
g’(u)=d/du(u(1/2))=1/2·u(−1/2)=1/(2√u).
Passo 5
Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de f em relação a x é g’(u(x))·u’(x). Logo,
f’(x)=1/(2√(u(x)))·(2x−3).
Passo 6
Substituímos u(x) de volta e simplificamos: f’(x)=(2x−3)/(2√(x²−3x−9)).