Aplique a regra da cadeia para determinar
, dadas as funções:
Passo 1
O enunciado dá três funções e pede a derivada de
em relação a
:
- função composta com duas variáveis:
; - dependência de
em : ; - dependência de
em : .
Pergunta: determinarsabendo que e dependem de .
Passo 2
Entendendo o que significa
aqui:
é uma função de duas variáveis
e
, mas
e
são, por sua vez, funções de
. Então quando
varia,
e
variam e isso faz
variar. A derivada total
mede a taxa de variação de
com respeito a
, levando em conta as duas vias de influência (
e
).
Passo 3
Apresentando a regra da cadeia para funções de várias variáveis (forma que vamos usar): se
e
,
, então
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(considerando
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
(considerando
fixo). A ideia intuitiva: variação total = contribuição pela variação de
+ contribuição pela variação de
.
Passo 4
Calcule as derivadas parciais de
:
- derivada parcial em relação a
: ao tratar como constante, . Ou seja,
- derivada parcial em relação a
: ao tratar como constante, . Ou seja,
Expliquei: para
, cada parcial simplesmente “pega” o outro fator como constante.
Passo 5
Calcule as derivadas de
e
em relação a
:
-
então
Explicação rápida: derivada de
é
e de constante
é
.
-
então
Explicação rápida: derivada de
é
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas de
e
:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 7
Finalmente substituímos
e
na expressão acima:
Arrumando o sinal,
Se quiser expandir: