Aplique a regra da cadeia para determinar \frac{d f}{d t}, dadas as funções:
f(x, y)=x y, x=t^{2}-1, y=\cos (t)

Passo 1

O enunciado dá três funções e pede a derivada de f em relação a t:
  • função composta com duas variáveis: f(x,y)=x\,y;
  • dependência de x em t: x=t^{2}-1;
  • dependência de y em t: y=\cos(t).
    Pergunta: determinar \dfrac{d f}{d t} sabendo que x e y dependem de t.

Passo 2

Entendendo o que significa \dfrac{d f}{d t} aqui: f é uma função de duas variáveis x e y, mas x e y são, por sua vez, funções de t. Então quando t varia, x(t) e y(t) variam e isso faz f(x(t),y(t)) variar. A derivada total \dfrac{d f}{d t} mede a taxa de variação de f com respeito a t, levando em conta as duas vias de influência ( x e y).

Passo 3

Apresentando a regra da cadeia para funções de várias variáveis (forma que vamos usar): se f=f(x,y) e x=x(t), y=y(t), então
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (considerando y fixo) e \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (considerando x fixo). A ideia intuitiva: variação total = contribuição pela variação de x + contribuição pela variação de y.

Passo 4

Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=x\,y:
  • derivada parcial em relação a x: ao tratar y como constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(x\,y)=y. Ou seja,
\frac{\partial f}{\partial x}=y.
  • derivada parcial em relação a y: ao tratar x como constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x. Ou seja,
\frac{\partial f}{\partial y}=x.
Expliquei: para x\,y, cada parcial simplesmente “pega” o outro fator como constante.

Passo 5

Calcule as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
  • x(t)=t^{2}-1 então
\frac{d x}{d t}=2t.
Explicação rápida: derivada de t^{2} é 2t e de constante -1 é 0.
  • y(t)=\cos(t) então
\frac{d y}{d t}=-\sin(t).
Explicação rápida: derivada de \cos é -\sin.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas de x e y:
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial x}=y, \dfrac{\partial f}{\partial y}=x, \dfrac{d x}{d t}=2t e \dfrac{d y}{d t}=-\sin(t), obtemos
\frac{d f}{d t}=y\cdot 2t + x\cdot\bigl(-\sin(t)\bigr).

Passo 7

Finalmente substituímos x(t)=t^{2}-1 e y(t)=\cos(t) na expressão acima:
\frac{d f}{d t}= \cos(t)\cdot 2t + (t^{2}-1)\cdot\bigl(-\sin(t)\bigr).
Arrumando o sinal,
\frac{d f}{d t}=2t\cos(t)-(t^{2}-1)\sin(t).
Se quiser expandir:
\frac{d f}{d t}=2t\cos(t)-t^{2}\sin(t)+\sin(t).

Resposta

\frac{d f}{d t}=2t\cos(t)-(t^{2}-1)\sin(t)

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