Aplique a regra da cadeia para determinar \frac{d f}{d t}, dadas as funções:
f(x, y)=y e^{3 x^{2} y}, x=3 t, y=2 t+1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dada a função de duas variáveis f(x,y)=y e^{3 x^{2} y}.\n
  • As variáveis x e y são funções de t: x=3t e y=2t+1.\n
  • O pedido: determinar \dfrac{d f}{d t}, ou seja, a derivada de f em relação a t, quando x e y dependem de t.\n

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (intuição):\n
Quando f depende de x e y, que por sua vez dependem de t, a variação de f em relação a t vem das variações de x e de y. A regra que junta tudo isso é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (segurando y fixo) e \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (segurando x fixo). \n

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}:\n
Temos f(x,y)=y\;e^{3x^{2}y}. Para derivar em relação a x tratamos y como constante. Use a regra da cadeia dentro do exponencial.\n
Derivada do exponencial: a derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}u'(x). Aqui u(x)=3x^{2}y. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}y)=3\cdot 2x\cdot y=6xy,
pois y é constante ao derivar em x.\n
Agora, \dfrac{\partial f}{\partial x} é y (o fator externo) vezes a derivada de e^{3x^{2}y}:
\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot e^{3x^{2}y}\cdot 6xy=6x y^{2} e^{3x^{2}y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}:\n
Agora derivamos f(x,y)=y\;e^{3x^{2}y} em relação a y, tratando x como constante. Aqui precisamos da regra do produto: se f=uv com u=y e v=e^{3x^{2}y}, então f_y=u'v+uv'.\n
  • u'=1.\n
  • Para v'= \frac{d}{dy}e^{3x^{2}y} usamos a regra da cadeia: o expoente é 3x^{2}y, cuja derivada em y é 3x^{2} (pois x é constante). Logo v'=e^{3x^{2}y}\cdot 3x^{2}.\n
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=1\cdot e^{3x^{2}y}+y\cdot e^{3x^{2}y}\cdot 3x^{2}=e^{3x^{2}y}\bigl(1+3x^{2}y\bigr).

Passo 5

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}:\n
Das expressões dadas x=3t e y=2t+1 obtemos
\frac{dx}{dt}=3,\qquad \frac{dy}{dt}=2.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia e simplificar algebraicamente:\n
Substituindo tudo em
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}
temos
\frac{df}{dt}= \bigl(6x y^{2} e^{3x^{2}y}\bigr)\cdot 3 \;+\; \bigl(e^{3x^{2}y}(1+3x^{2}y)\bigr)\cdot 2.
Colocando e^{3x^{2}y} em evidência:
\frac{df}{dt}=e^{3x^{2}y}\Bigl(18x y^{2}+2(1+3x^{2}y)\Bigr) = e^{3x^{2}y}\Bigl(18x y^{2}+2+6x^{2}y\Bigr).

Passo 7

Substituir x=3t e y=2t+1 e simplificar o resultado final:\n
O expoente fica
3x^{2}y=3(3t)^{2}(2t+1)=3\cdot 9t^{2}(2t+1)=27t^{2}(2t+1).
O parêntese interno é
18x y^{2}+6x^{2}y+2 =18(3t)(2t+1)^{2}+6(3t)^{2}(2t+1)+2.
Fatorando 54t(2t+1) nas duas primeiras parcelas:
18\cdot 3t(2t+1)^{2}+6\cdot 9t^{2}(2t+1) =54t(2t+1)\bigl((2t+1)+t\bigr)=54t(2t+1)(3t+1).
Assim o resultado fica
\frac{df}{dt}=e^{27t^{2}(2t+1)}\Bigl(54t(2t+1)(3t+1)+2\Bigr).

Resposta

\frac{df}{dt}=e^{27t^{2}(2t+1)}\Bigl(54t(2t+1)(3t+1)+2\Bigr)

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