Aplique a regra da cadeia para determinar
, dadas as funções:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dada a função de duas variáveis
.\n - As variáveis
e são funções de : e .\n - O pedido: determinar
, ou seja, a derivada de em relação a , quando e dependem de .\n
Passo 2
Qual fórmula vamos usar e por quê (intuição):\n
Quando depende de
e
, que por sua vez dependem de
, a variação de
em relação a
vem das variações de
e de
. A regra que junta tudo isso é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Quando
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(segurando
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
(segurando
fixo). \n
Passo 3
Calcular
:\n
Temos . Para derivar em relação a
tratamos
como constante. Use a regra da cadeia dentro do exponencial.\n
Derivada do exponencial: a derivada de é
. Aqui
. Então
Temos
Derivada do exponencial: a derivada de
pois
é constante ao derivar em
.\n
Agora, é
(o fator externo) vezes a derivada de
:
Agora,
Passo 4
Calcular
:\n
Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante. Aqui precisamos da regra do produto: se
com
e
, então
.\n
Agora derivamos
-
.\n - Para
usamos a regra da cadeia: o expoente é , cuja derivada em é (pois é constante). Logo .\n
Portanto
Passo 5
Calcular
e
:\n
Das expressões dadas e
obtemos
Das expressões dadas
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia e simplificar algebraicamente:\n
Substituindo tudo em
Substituindo tudo em
temos
Colocando
em evidência:
Passo 7
Substituir
e
e simplificar o resultado final:\n
O expoente fica
O expoente fica
O parêntese interno é
Fatorando
nas duas primeiras parcelas:
Assim o resultado fica