Aplique a regra da cadeia para determinar
, dadas as funções:
Passo 1
O enunciado dá as funções
,
e
, e pede para determinar
.\n
Informações relevantes:
A função
depende de
e
.\n
As variáveis
e
são funções de
:
e
.\n
Precisamos usar a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis, ou seja, calcular a derivada de
em relação a
sabendo que
e
dependem de
.
Informações relevantes:
Passo 2
Apresentando a regra da cadeia para duas variáveis: se
e
,
, então
Explicando cada termo:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixa (ou seja, como
muda quando só
varia);\n
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixa;\n
e
são as derivadas das funções
e
em relação a
.\n
Intuição rápida: pequenas variações em provocam variações em
e
; a variação total de
é soma das contribuições vindas de
e de
.
Intuição rápida: pequenas variações em
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.\n
Derivada parcial em relação a (tratando
como constante): a parte que depende de
é
. A derivada de
em relação a
é
(pela regra da cadeia simples para
com
). Multiplicando pelo
que é constante aqui, obtemos
Derivada parcial em relação a
Derivada parcial em relação a
(tratando
como constante):
é constante e a derivada de
em relação a
é
, então
Comentário rápido: em
o
age como constante multiplicativa; em
o fator que depende de
fica intacto.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
:\n
Isso vem da regra básica da potência:
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia e substituímos as derivadas parciais e as derivadas de
e
:
Simplificando os fatores:
Agora substituímos
e
(os dados do enunciado) para ter tudo em função de
:
Substituindo:
Multiplicando
:
Fatorando
para simplificar a expressão: