Aplique a regra da cadeia para determinar \frac{d f}{d t}, dadas as funções:
f(x, y)=e^{2 x} y, x=t^{2}, y=t^{3}

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x,y)=e^{2x}y, x=t^{2} e y=t^{3}, e pede para determinar \dfrac{d f}{d t}.\n
Informações relevantes:
\;1.\; A função f depende de x e y.\n
\;2.\; As variáveis x e y são funções de t: x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}.\n
\;3.\; Precisamos usar a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis, ou seja, calcular a derivada de f em relação a t sabendo que x e y dependem de t.

Passo 2

Apresentando a regra da cadeia para duas variáveis: se f=f(x,y) e x=x(t), y=y(t), então
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t}.
Explicando cada termo:
\;\frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixa (ou seja, como f muda quando só x varia);\n
\;\frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y mantendo x fixa;\n
\;\frac{d x}{d t} e \frac{d y}{d t} são as derivadas das funções x(t) e y(t) em relação a t.\n
Intuição rápida: pequenas variações em t provocam variações em x e y; a variação total de f é soma das contribuições vindas de x e de y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{2x}y.\n
Derivada parcial em relação a x (tratando y como constante): a parte que depende de x é e^{2x}. A derivada de e^{2x} em relação a x é 2e^{2x} (pela regra da cadeia simples para e^{u} com u=2x). Multiplicando pelo y que é constante aqui, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=2e^{2x}y.
Derivada parcial em relação a y (tratando x como constante): e^{2x} é constante e a derivada de y em relação a y é 1, então
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{2x}.
Comentário rápido: em \frac{\partial f}{\partial x} o y age como constante multiplicativa; em \frac{\partial f}{\partial y} o fator que depende de x fica intacto.

Passo 4

Calcular as derivadas de x(t) e y(t):\n
x(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{d x}{d t}=2t,
y(t)=t^{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{d y}{d t}=3t^{2}.
Isso vem da regra básica da potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia e substituímos as derivadas parciais e as derivadas de x e y:
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t} = \big(2e^{2x}y\big)\cdot(2t)+\big(e^{2x}\big)\cdot(3t^{2}).
Simplificando os fatores:
\frac{d f}{d t}=4t\,e^{2x}y+3t^{2}e^{2x}.
Agora substituímos x=t^{2} e y=t^{3} (os dados do enunciado) para ter tudo em função de t:
e^{2x}=e^{2t^{2}},\qquad y=t^{3}.
Substituindo:
\frac{d f}{d t}=4t\,e^{2t^{2}}\,t^{3}+3t^{2}e^{2t^{2}}.
Multiplicando 4t\cdot t^{3}=4t^{4}:
\frac{d f}{d t}=4t^{4}e^{2t^{2}}+3t^{2}e^{2t^{2}}.
Fatorando t^{2}e^{2t^{2}} para simplificar a expressão:
\frac{d f}{d t}=t^{2}e^{2t^{2}}(4t^{2}+3).

Resposta

\,t^{2}e^{2t^{2}}(4t^{2}+3)

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