Aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada das funções abaixo:
f(x)=arcsin (3 x)

Passo 1

Resumindo: a gente tem que achar a derivada de uma função composta, mais especificamente de f(x)=arcsin(3x). O conteúdo principal é a regra da cadeia junto com a derivada da função arcsin(u).

Passo 2

Primeiro identificamos a parte interna e a externa da composição. Definimos u(x)=3x. A derivada de u(x) é u'(x)=3, porque a derivada de 3x em relação a x é simplesmente 3.

Passo 3

A seguir, lembramos a fórmula da derivada de arcsin(u). Para uma função g(u)=arcsin(u), vale que
ddul(arcsin(u)r)=1raiz1-u^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia: a derivada de f(x)=g(u(x)) é f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x). Substituindo:
f'(x)=1raiz1-(u(x))^2cdot u'(x)=1raiz1-(3x)^2cdot 3=3raiz1-9x^2

Resposta

f'(x)=dfrac3raiz1-9x^2

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