1^ a QUESTÃO - Seja as séries infinitas abaixo:
l s1=1+14+19+116+125+cdots s2=11.2+12.3+13.4+14.5+15.6+cdots
Utilize o Critério da Comparação para mostrar que s2 é convergente a partir do que se sabe da série s1;

Passo 1

O enunciado dá duas séries infinitas, s1=sumn=1^infty1n^2 e s2=sumn=1^infty1n(n+1). O conteúdo que vamos usar é o Critério da Comparação de Séries: se 0<= an<= bn para todo n e sum bn converge, então sum an também converge. Sabemos que s1 é convergente por ser uma serie-p com p=2>1.

Passo 2

Para aplicar o Critério da Comparação, observe que para todo n>=1 temos
n(n+1)=n^2+n>n^2Longrightarrow1n(n+1)<1n^2

Passo 3

Como para todo n o termo an=1n(n+1) satisfaz
0<= an=1n(n+1)<1n^2=bn
e a série sum bn=sum1n^2 é convergente, o Critério da Comparação garante que sum an=sum1n(n+1) também converge.

Resposta

A série s2=sumn=1^infty1n(n+1) é convergente pelo Critério da Comparação.

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