1^ a QUESTÃO - Seja as séries infinitas abaixo:
l s1=1+14+19+116+125+cdots s2=11.2+12.3+13.4+14.5+15.6+cdots
A série s2 converge para qual valor exatamente?

Passo 1

O enunciado apresenta a série infinita s2=sumn=1^infty1n(n+1). O conteúdo aqui é soma de séries telescópicas e vamos precisar usar frações parciais para decompor cada termo.

Passo 2

Para decompor 1n(n+1), procuramos constantes A e B tais que
1n(n+1)=An+Bn+1
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) fica
1=A(n+1)+Bn=An+A+Bn=(A+B)n+A
Igualando coeficientes, obtemos
A+B=0,
A=1
logo A=1 e B=-1. Assim
1n(n+1)=1n-1n+1

Passo 3

Agora consideramos a soma parcial até N:
SN=sumn=1^Nl(1n-1n+1r)
Escrevendo os primeiros termos, temos
SN=l(1-tfrac12r)+l(tfrac12-tfrac13r)+l(tfrac13-tfrac14r)+cdots+l(tfrac1N-tfrac1N+1r)
Nessa soma, quase tudo se cancela, sobrando
SN=1-1N+1

Passo 4

Para obter o valor da série, fazemos Ntoinfty e vemos que
limNtoinftySN=limNtoinftyl(1-1N+1r)=1-0=1
Portanto, s2 converge para 1.

Resposta

1

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