QUESTÃO - Seja as séries infinitas abaixo:
A série
converge para qual valor exatamente?
Passo 1
O enunciado apresenta a série infinita
. O conteúdo aqui é soma de séries telescópicas e vamos precisar usar frações parciais para decompor cada termo.
Passo 2
Para decompor
, procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
fica
Igualando coeficientes, obtemos
logo
e
. Assim
Passo 3
Agora consideramos a soma parcial até
:
Escrevendo os primeiros termos, temos
Nessa soma, quase tudo se cancela, sobrando
Passo 4
Para obter o valor da série, fazemos
e vemos que
Portanto,
converge para 1.
Resposta
1