QUESTÃO - Seja as séries infinitas abaixo:
A série
é convergente ou divergente? Justifique;
Passo 1
A questão pede para decidir se a série infinita
, ou seja
, é convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, especialmente o teste da p-série e o teste da integral.
Passo 2
Uma maneira direta é usar o teste da p-série, que diz que
converge se e somente se
. Aqui temos
, que é maior que 1, então a série
converge.
Passo 3
Como reforço, podemos aplicar o teste da integral. Considere a função
, contínua e decrescente em
. A integral imprópria é
Passo 4
Pelo critério da integral, a convergência da integral implica a convergência da série
.
Resposta
A série
é convergente.