1^ a QUESTÃO - Seja as séries infinitas abaixo:
l s1=1+14+19+116+125+cdots s2=11.2+12.3+13.4+14.5+15.6+cdots
A série s1 é convergente ou divergente? Justifique;

Passo 1

A questão pede para decidir se a série infinita s1=1+tfrac14+tfrac19+cdots, ou seja sumn=1^infty1n^2, é convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, especialmente o teste da p-série e o teste da integral.

Passo 2

Uma maneira direta é usar o teste da p-série, que diz que sumn=1^infty1n^p converge se e somente se p>1. Aqui temos p=2, que é maior que 1, então a série s1 converge.

Passo 3

Como reforço, podemos aplicar o teste da integral. Considere a função f(x)=x^-2, contínua e decrescente em [1,infty). A integral imprópria é
integral1^inftyx^-2,dx=limttoinftyl[-tfrac1xr]1^t=0-(-1)=1

Passo 4

Pelo critério da integral, a convergência da integral implica a convergência da série sumn=1^inftytfrac1n^2.

Resposta

A série s1=sumn=1^inftytfrac1n^2 é convergente.

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