Aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada das funções abaixo:
j) y=x arctan (x)

Passo 1

Enunciado: temos a função y = x arctan(x). O conteúdo aqui é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia para obter a derivada. Vamos precisar da derivada de x, que é 1, e da derivada de arctan(x), que é dada pela regra da cadeia como 1/(1+x^2).

Passo 2

Para aplicar a regra do produto em y = u(x),v(x), usamos y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Aqui u(x)=x e v(x)=arctan(x). A derivada de u(x) é u'(x)=1. A derivada de v(x) vem da regra da cadeia e é v'(x)=11+x^2.
Substituindo na fórmula do produto temos:
y' = 1 cdot arctan(x) + x cdot 11+x^2

Passo 3

Podemos reescrever de forma mais limpa como:
$$y

Resposta

y' = arctan(x) + dfracx1+x^2

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