Seja a função
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Encontre o plano tangente ao gráfico de
no ponto
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Encontre o plano tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 11 - x^2 - y^2 $ e precisa encontrar o plano tangente ao gráfico dessa função no ponto $ P(\sqrt{3}, 2) $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e equações de planos tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, avaliar essas derivadas no ponto dado, e então montar a equação do plano tangente usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de $ z $ no ponto $ P(\sqrt{3}, 2) $. Isso significa que substituímos $ x = \sqrt{3} $ e $ y = 2 $ na função:
Então, o ponto no espaço é $ (\sqrt{3}, 2, 4) $.
Passo 3
Agora, precisamos achar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (\sqrt{3}, 2) $:
Passo 5
Com as derivadas parciais e o ponto conhecido, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Substituindo $ a = \sqrt{3} $, $ b = 2 $, e $ f(a, b) = 4 $:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Lembrando que $ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 $:
Somando os termos constantes:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de $ z = 11 - x^2 - y^2 $ no ponto $ P(\sqrt{3}, 2) $ é dado por: