Seja a função f(x, y)=11-x^2-y^2.
Encontre o plano tangente ao gráfico de z=f(x, y) no ponto P(raiz3, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 11 - x^2 - y^2 $ e precisa encontrar o plano tangente ao gráfico dessa função no ponto $ P(\sqrt{3}, 2) $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e equações de planos tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, avaliar essas derivadas no ponto dado, e então montar a equação do plano tangente usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de $ z $ no ponto $ P(\sqrt{3}, 2) $. Isso significa que substituímos $ x = \sqrt{3} $ e $ y = 2 $ na função:
z
Então, o ponto no espaço é $ (\sqrt{3}, 2, 4) $.

Passo 3

Agora, precisamos achar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f(x, y)
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (\sqrt{3}, 2) $:
(raiz3, 2)
fx(raiz3, 2) = -2 cdot raiz3 = -2raiz3

Passo 5

Com as derivadas parciais e o ponto conhecido, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo $ a = \sqrt{3} $, $ b = 2 $, e $ f(a, b) = 4 $:
a = raiz3

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
z = 4 - 2raiz3x + 2raiz3 cdot raiz3 - 4y + 8
Lembrando que $ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 $:
raiz3 cdot raiz3 = 3
Somando os termos constantes:
z = 4 - 2raiz3x + 6 - 4y + 8

Resposta

O plano tangente ao gráfico de $ z = 11 - x^2 - y^2 $ no ponto $ P(\sqrt{3}, 2) $ é dado por:
z = 11 - x^2 - y^2

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