Encontre as coordenadas do ponto que pertence ao plano x+y-z+5=0 e cujo quadrado da distância ao ponto P(3,-2,1) seja mínimo.

Passo 1

Resumindo o problema: precisamos achar o ponto Q no plano x+y-z+5=0 cuja distância ao ponto P(3,-2,1) seja mínima. O conteúdo de matéria envolve geometria analítica de distância ponto–plano e projeção ortogonal.

Passo 2

O vetor normal ao plano é n=(1,1,-1). Para minimizar a distância, Q deve ser a projeção ortogonal de P sobre o plano. A fórmula geral para a projeção de um ponto P sobre o plano ncdot x + d = 0 é
Q = P - ncdot P + d|n|^2,n

Passo 3

Calculando os valores: ncdot P + d = 1cdot3 + 1cdot(-2) + (-1)cdot1 + 5 = 5 e |n|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3.

Passo 4

Aplicando na fórmula:
Q = (3,-2,1) - 53(1,1,-1) = l(3-tfrac53,,-2-tfrac53,,1+tfrac53r) = l(tfrac43,,-tfrac113,,tfrac83r)

Resposta

tfrac43,,-tfrac113,,tfrac83

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