Sabe-se que a equação x^2+z^3-z-x y sin z=1 define implicitamente uma função z=f(x, y) cujo gráfico passa pelo ponto P(1,1,0). Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função implícita F(x,y,z)=x^2+z^3-z-xysin z-1=0 que define z=f(x,y) e que o gráfico passa por P(1,1,0). Precisamos encontrar a equação do plano tangente usando derivação implícita.

Passo 2

First vamos calcular as derivadas parciais de F:
Fx=partial Fpartial x=2x-ysin z,
Fy=partial Fpartial y= -xsin z,
Fz=partial Fpartial z=3z^2-1-xycos z
Pela derivação implícita, temos
partial zpartial x=-FxFz, partial zpartial y=-FyFz

Passo 3

Agora avaliamos em P(1,1,0) sabendo que sin0=0 e cos0=1:
Fx(1,1,0)=2cdot1-1cdot0=2,
Fy(1,1,0)=-1cdot0=0,
Fz(1,1,0)=3cdot0^2-1-1cdot1cdot1=-2
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zx= -2-2=1, zy=-0-2=0

Passo 4

A equação do plano tangente em P(x0,y0,z0)=(1,1,0) é dada por
z-z0 = zx,(x-x0) + zy,(y-y0)
Substituindo os valores:
z-0 = 1cdot(x-1) + 0cdot(y-1),
ou seja z = x - 1.

Resposta

z = x - 1

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