Aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada das funções abaixo:
k) f(x)=arcsin (3 x)

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \arcsin(3x) $. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que serve para derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

A Regra da Cadeia diz que se temos uma função composta $ f(g(x)) $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
f(g(x))
Isso significa que derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 3

No nosso caso, podemos identificar:
  • Função externa: $ \arcsin(u) $, onde $ u = 3x $
  • Função interna: $ u = 3x $

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função externa em relação a $ u $:
u

Passo 5

Em seguida, vamos derivar a função interna em relação a $ x $:
x

Passo 6

Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
f'(x) = 1raiz1 - (3x)^2 cdot 3
Simplificando:
f'(x) = 3raiz1 - 9x^2

Resposta

A derivada de $ f(x) = \arcsin(3x) $ é:
f(x) = arcsin(3x)

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