Uma caixa retangular é colocada no primeiro octante, com um dos seus vértices na origem e três de suas faces coincidindo com os três planos coordenados. O vértice oposto à origem está situado no plano de equação
. Qual é o volume máximo possível de tal caixa? Quais serão as suas dimensões?
Passo 1
Temos uma caixa retangular no primeiro octante com vértice na origem e vértice oposto em
sobre o plano
. O conteúdo é otimização com restrição e volume de paralelepípedo: queremos maximizar
sujeito a essa restrição.
Passo 2
Usando a restrição do plano, expressamos
em função de
e
:
Logo o volume fica
Passo 3
Para encontrar o máximo interno, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a
Derivada em relação a
Passo 4
Igualando as duas expressões para
:
Então
e
Passo 5
Verificamos que esse ponto está no interior do domínio e, portanto, é um máximo local. O volume máximo é
Resposta
Volume máximo = 4/3. Dimensões: x = 2/3, y = 1, z = 2.