Uma caixa retangular é colocada no primeiro octante, com um dos seus vértices na origem e três de suas faces coincidindo com os três planos coordenados. O vértice oposto à origem está situado no plano de equação 3 x+2 y+z=6. Qual é o volume máximo possível de tal caixa? Quais serão as suas dimensões?

Passo 1

Temos uma caixa retangular no primeiro octante com vértice na origem e vértice oposto em (x,y,z) sobre o plano 3x+2y+z=6. O conteúdo é otimização com restrição e volume de paralelepípedo: queremos maximizar V=xyz sujeito a essa restrição.

Passo 2

Usando a restrição do plano, expressamos z em função de x e y:
z = 6 - 3x - 2y
Logo o volume fica
V(x,y) = x y, (6 - 3x - 2y) = 6xy - 3x^2y - 2xy^2

Passo 3

Para encontrar o máximo interno, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Derivada em relação a x:
partial Vpartial x = 6y - 6xy - 2y^2 = 0 implies 6y - 2y^2 - 6xy = 0 implies 3 - y - 3x = 0 implies y = 3 - 3x
Derivada em relação a y:
partial Vpartial y = 6x - 3x^2 - 4xy = 0 implies 6 - 3x - 4y = 0 implies y = tfrac6 - 3x4 = 1.5 - 0.75x

Passo 4

Igualando as duas expressões para y:
3 - 3x = 1.5 - 0.75x implies 1.5 = 2.25x implies x = tfrac23
Então
y = 3 - 3cdottfrac23 = 1
e
z = 6 - 3cdottfrac23 - 2cdot1 = 2.

Passo 5

Verificamos que esse ponto está no interior do domínio e, portanto, é um máximo local. O volume máximo é
Vmax = tfrac23 times 1 times 2 = tfrac43

Resposta

Volume máximo = 4/3. Dimensões: x = 2/3, y = 1, z = 2.

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