Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios.
0 <= arg z <= pi / 4(z neq 0);

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o conjunto de números complexos
$$
{z\in\mathbb C:;0\le\arg z\le\tfrac\pi4,;z\neq0}\n
$$
que é um setor no plano complexo, e precisamos esboçá-lo e verificar se ele é um domínio (ou seja, aberto e conexo).

Passo 2

Entendendo a geometria: lembrar que arg z é o ângulo que o vetor de z faz com o eixo real positivo. Então 0 significa o eixo real positivo, e pi/4 é a reta que faz 45° com o eixo real. O conjunto reúne todos os pontos (exceto a origem) dentro desse setor, incluindo ambas as fronteiras angulares.
Esboço do conjunto: é um “fatia” do primeiro quadrante, limitada pela reta real positiva (ângulo zero) e pela reta y=x (ângulo pi/4). Como zneq0, retiramos apenas o ponto na origem, mas mantemos os dois raios. Visualmente, fica um setor fechado sem o vértice.

Passo 3

Verificando se é aberto: o conjunto inclui os pontos de fronteira onde arg z=0 e arg z=pi/4. Logo não satisfaz a definição de conjunto aberto em C, pois qualquer vizinhança de um ponto na fronteira ultrapassaria o setor.
Verificando a conexão: todo par de pontos dentro desse setor pode ser ligado por um caminho contido no próprio setor (menos a origem), então o conjunto é conexo.

Passo 4

Conclusão sobre domínio: como falta abertura, o conjunto não é um domínio. Porém seu interior
z:;0
é um domínio (setor aberto e conexo).

Resposta

O conjunto dado é o setor fechado 0≤arg z≤π/4 sem a origem; ele é conexo mas não é aberto, portanto não é um domínio.

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