Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios.
;
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o conjunto de números complexos
$$
{z\in\mathbb C:;0\le\arg z\le\tfrac\pi4,;z\neq0}\n
$$
que é um setor no plano complexo, e precisamos esboçá-lo e verificar se ele é um domínio (ou seja, aberto e conexo).
que é um setor no plano complexo, e precisamos esboçá-lo e verificar se ele é um domínio (ou seja, aberto e conexo).
Passo 2
Entendendo a geometria: lembrar que
é o ângulo que o vetor de
faz com o eixo real positivo. Então 0 significa o eixo real positivo, e
é a reta que faz 45° com o eixo real. O conjunto reúne todos os pontos (exceto a origem) dentro desse setor, incluindo ambas as fronteiras angulares.
Esboço do conjunto: é um “fatia” do primeiro quadrante, limitada pela reta real positiva (ângulo zero) e pela reta (ângulo
). Como
, retiramos apenas o ponto na origem, mas mantemos os dois raios. Visualmente, fica um setor fechado sem o vértice.
Esboço do conjunto: é um “fatia” do primeiro quadrante, limitada pela reta real positiva (ângulo zero) e pela reta
Passo 3
Verificando se é aberto: o conjunto inclui os pontos de fronteira onde
e
. Logo não satisfaz a definição de conjunto aberto em
, pois qualquer vizinhança de um ponto na fronteira ultrapassaria o setor.
Verificando a conexão: todo par de pontos dentro desse setor pode ser ligado por um caminho contido no próprio setor (menos a origem), então o conjunto é conexo.
Verificando a conexão: todo par de pontos dentro desse setor pode ser ligado por um caminho contido no próprio setor (menos a origem), então o conjunto é conexo.
Passo 4
Conclusão sobre domínio: como falta abertura, o conjunto não é um domínio. Porém seu interior
é um domínio (setor aberto e conexo).
Resposta
O conjunto dado é o setor fechado 0≤arg z≤π/4 sem a origem; ele é conexo mas não é aberto, portanto não é um domínio.