Aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada das funções abaixo:
o) y=arcsin (e^x)

Passo 1

O exercício pede para derivar a função y=arcsin(e^x) usando a regra da cadeia. Vamos precisar da fórmula da derivada de arcsin(u), da derivada de e^x e de como combinar essas duas usando a regra da cadeia.

Passo 2

Sabendo que se y=arcsin(u), então pela derivada da função inversa temos
dydu=1raiz1-u^2
Essa é a parte principal da regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa.

Passo 3

A parte interna é u=e^x. Aplicando a regra básica da exponencial, temos
dudx=e^x

Passo 4

Agora é só aplicar a regra da cadeia: dydx=dyducdotdudx. Substituindo as derivadas que encontramos,
dydx=1raiz1-(e^x)^2cdot e^x
que pode ser simplificado para
dydx=e^xraiz1-e^2x

Resposta

y'=dfrace^xraiz1-e^2x

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