Se z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação
x+y^z-1+x^2 z=1
determine o gradiente de z no ponto (0,2), nabla z(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que está definida de maneira implícita pela equação:
z = f(x, y)
O objetivo é encontrar o gradiente de $ z $ no ponto $ (0, 2) $, ou seja, $ \nabla z(0, 2) $. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de diferenciação implícita e entender como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de $ z $ no ponto $ (0, 2) $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 2 $ na equação dada:
z
Simplificando:
(0, 2)
Sabemos que $ 2^0 = 1 $, então:
x = 0
Portanto, no ponto $ (0, 2) $, $ z = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Como $ z $ está definido de forma implícita, vamos usar a diferenciação implícita.
Primeiro, diferenciamos a equação dada com relação a $ x $:
z
Calculando cada termo:
x
No ponto $ (0, 2, 1) $, substituindo $ x = 0 $, $ y = 2 $, e $ z = 1 $:
y
Simplificando:
partial zpartial x

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a equação original com relação a $ y $:
y
Calculando cada termo:
ddy(x) + ddy(y^z-1) + ddy(x^2 z) = ddy(1)
No ponto $ (0, 2, 1) $, substituindo $ x = 0 $, $ y = 2 $, e $ z = 1 $:
0 + y^z-1 cdot (ln(y) cdot partial zpartial y + z-1y) + x^2 partial zpartial y = 0
Simplificando:
(0, 2, 1)

Resposta

O gradiente de $ z $ no ponto $ (0, 2) $ é:
z

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