Se
é definida implicitamente pela equação
determine o gradiente de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que está definida de maneira implícita pela equação:
O objetivo é encontrar o gradiente de $ z $ no ponto $ (0, 2) $, ou seja, $ \nabla z(0, 2) $. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de diferenciação implícita e entender como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de $ z $ no ponto $ (0, 2) $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 2 $ na equação dada:
Simplificando:
Sabemos que $ 2^0 = 1 $, então:
Portanto, no ponto $ (0, 2) $, $ z = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Como $ z $ está definido de forma implícita, vamos usar a diferenciação implícita.
Primeiro, diferenciamos a equação dada com relação a $ x $:
Calculando cada termo:
No ponto $ (0, 2, 1) $, substituindo $ x = 0 $, $ y = 2 $, e $ z = 1 $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a equação original com relação a $ y $:
Calculando cada termo:
No ponto $ (0, 2, 1) $, substituindo $ x = 0 $, $ y = 2 $, e $ z = 1 $:
Simplificando:
Resposta
O gradiente de $ z $ no ponto $ (0, 2) $ é: