Aplique a regra de L(b) lim x +infty 1-e^1 / x-3x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto+infty1 - e^1/x-3/x
usando a regra de L’Hôpital. Vamos lidar com um caso de indeterminação do tipo 0/0 em limites de funções envolvendo exponencial.

Passo 2

Primeiro, verificamos que quando x → +∞ temos 1/x to 0, então e^1/xto e^0=1. Logo o numerador 1 - e^1/xto 0 e o denominador -3/xto 0. Como é 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas do numerador e do denominador. Se definirmos
f(x)=1 - e^1/x, g(x)=-3x,
então
f'(x)=-ddxe^1/x=-e^1/xcdotl(-1x^2r)=e^1/xx^2,
$$g’(x)=-3\frac{d}{dx}x{-1}=-3(-1)x{-2}=\frac{3}{x^2}.
$$

Passo 4

Pelo enunciado da regra de L’Hôpital, o limite original vale o mesmo que
limxto+inftyf'(x)g'(x) =limxto+inftye^1/x/x^23/x^2 =limxto+inftye^1/x3

Passo 5

À medida que x → +∞, temos 1/x → 0 e então e^{1/x} → 1. Assim
limxto+inftye^1/x3=13

Resposta

13

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