Aplique a regra de L(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
usando a regra de L’Hôpital. Vamos lidar com um caso de indeterminação do tipo 0/0 em limites de funções envolvendo exponencial.
Passo 2
Primeiro, verificamos que quando x → +∞ temos
, então
. Logo o numerador
e o denominador
. Como é 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Calculamos as derivadas do numerador e do denominador. Se definirmos
então
$$g’(x)=-3\frac{d}{dx}x{-1}=-3(-1)x{-2}=\frac{3}{x^2}.
$$
Passo 4
Pelo enunciado da regra de L’Hôpital, o limite original vale o mesmo que
Passo 5
À medida que x → +∞, temos 1/x → 0 e então e^{1/x} → 1. Assim