Esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares.
r=12 sen theta

Passo 1

Primeiro, a gente tem a curva em coordenadas polares dada por r = 12 sen θ, que é um problema clássico de curvas polares. Vamos usar a relação entre coordenadas polares e cartesianas para descobrir a forma dessa curva.

Passo 2

Sabendo que x = r cos θ e y = r sen θ, multiplicamos a equação r = 12 sen θ por r para obter r² = 12 r sen θ. Como r² = x² + y² e r sen θ = y, isso vira
x^2 + y^2 = 12y

Passo 3

Reorganizando em forma de círculo, completamos o quadrado em y: x² + y² – 12y = 0 ⇒ x² + (y – 6)² = 36. Ou seja, é um círculo de centro (0,6) e raio 6.

Passo 4

Agora, como r ≥ 0, precisamos de sen θ ≥ 0, o que acontece para θ ∈ [0, π]. Assim o círculo inteiro é traçado à medida que θ varia nesse intervalo, partindo de r = 0 em θ = 0, subindo até r = 12 em θ = π/2 e voltando a r = 0 em θ = π.

Resposta

O gráfico é um círculo de centro (0,6) e raio 6, dado por
x^2 + (y - 6)^2 = 36
traçado para θ ∈ [0, π].

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