Aplique a regra de L(d) lim x +infty(e^x+x)^2 / x

Passo 1

A questão pede para calcular limxto+infty(e^x + x)^2/x. O conteúdo principal é lidar com uma indeterminação do tipo infty^0 usando logaritmo e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Para tirar a potência e facilitar o uso de L’Hôpital, definimos L = limxto+infty(e^x + x)^2/x e aplicamos logaritmo. Assim temos:
ln L = limxto+infty 2xlnl(e^x + xr)

Passo 3

O limite de ln L está na forma inftyinfty, então aplicamos a regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
ln L = limxto+infty 2,ddxl[ln(e^x+x)r] ,/, ddx[x] = limxto+infty 2,e^x+1e^x+x

Passo 4

Para xto+infty, o termo e^x domina tanto x quanto 1, então
e^x+1e^x+xto 1
Logo ln L = 2.

Passo 5

Voltando à expressão original, temos L = e^ln L = e^2, que é o valor do limite.

Resposta

e^2

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