Aplique a regra de L(g) lim x 0(x+e^2 x)^1 / x

Passo 1

Temos o limite limxto0(x + e^2x)^1/x. Esse tipo de limite gera a forma indeterminada 1^infty, então vamos usar logaritmo e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos L = limxto0(x + e^2x)^1/x. Para simplificar, tomamos o logaritmo natural: ln L = limxto0 ln(x + e^2x)x

Passo 3

A expressão limxto0 ln(x + e^2x)x é indeterminada do tipo 0/0, pois ln(1)=0 e xto0. Aplicando a regra de L’Hôpital derivando numerador e denominador, obtemos: limxto0 tfracddxln(x + e^2x)1 = limxto0 1 + 2e^2xx + e^2x

Passo 4

Agora avaliamos o limite direto em x=0: 1 + 2e^00 + e^0 = 1 + 21 = 3 Assim, ln L = 3.

Passo 5

Voltando à expressão original, temos L = e^ln L = e^3.

Resposta

e^3

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