Aplique a regra de L© lim x 0 sen xln (2 e^x-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0sin xln(2e^x-1) usando a regra de L’Hôpital, ou seja, identificar que temos uma forma indeterminada 0/0 e derivar numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, confirmamos a forma indeterminada: ao fazer xto0 temos sin xto0 e ln(2e^x-1)toln(2cdot1-1)=ln1=0. Como é 0/0, podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Agora, derivamos numerador e denominador separadamente. A derivada de sin x é cos x. A derivada de ln(2e^x-1) é, pelo encadeamento,
ddxln(2e^x-1)=12e^x-1cdot(2e^x)=2e^x2e^x-1

Passo 4

Portanto o limite vira
limxto0cos xtfrac2e^x2e^x-1=limxto0cos xcdot2e^x-12e^x

Passo 5

Basta substituir x=0: cos0=1, 2e^0-1=1 e 2e^0=2. Assim o valor do limite é 1cdot12=tfrac12.

Resposta

\tfrac12

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