Comprove que as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Então, encontre todos os números
que satisfazem a conclusão do teorema de Rolle.
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Passo 1
O enunciado pede para a gente mostrar que a função
satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo
e depois encontrar todos os
em
tais que
. O conteúdo é o Teorema de Rolle, e vamos precisar verificar continuidade, derivabilidade e igualdade de valores nos extremos.
Passo 2
Como
é contínua e derivável para todo
, a composição
e a multiplicação por constante preservam essas propriedades. Portanto,
é contínua em
e derivável em
.
Agora calculamos a derivada usando a regra da cadeia:
(i) em bloco para a definição de :
Agora calculamos a derivada usando a regra da cadeia:
(i) em bloco para a definição de
(ii) em bloco para a derivada:
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Rolle precisamos de
. De fato,
(i) em bloco:
(i) em bloco:
Então a condição
está garantida.
Passo 4
Por fim, impondo
obtemos
(i) em bloco:
(i) em bloco:
Como queremos
, o único inteiro
que funciona é
, dando
.