Comprove que as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Então, encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do teorema de Rolle.
© f(x)=3 cos ^2 x,[pi2, 3 pi2]

Passo 1

O enunciado pede para a gente mostrar que a função f(x)=3cos^2 x satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo [tfracpi2,,tfrac3pi2] e depois encontrar todos os c em (tfracpi2,,tfrac3pi2) tais que f'(c)=0. O conteúdo é o Teorema de Rolle, e vamos precisar verificar continuidade, derivabilidade e igualdade de valores nos extremos.

Passo 2

Como cos x é contínua e derivável para todo x, a composição cos^2 x e a multiplicação por constante preservam essas propriedades. Portanto, f é contínua em [tfracpi2,,tfrac3pi2] e derivável em (tfracpi2,,tfrac3pi2).
Agora calculamos a derivada usando a regra da cadeia:
(i) em bloco para a definição de f(x):
f(x)=3cos^2 x
(ii) em bloco para a derivada:
f'(x)=3cdot2cos xcdot(-sin x)=-6sin xcos x=-3sin(2x)

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Rolle precisamos de f(tfracpi2)=f(tfrac3pi2). De fato,
(i) em bloco:
fl(tfracpi2r)=3cos^2l(tfracpi2r)=3cdot0=0
fl(tfrac3pi2r)=3cos^2l(tfrac3pi2r)=3cdot0=0
Então a condição f(a)=f(b) está garantida.

Passo 4

Por fim, impondo f'(c)=0 obtemos
(i) em bloco:
-3sin(2c)=0Longrightarrowsin(2c)=0Longrightarrow2c=kpi (kinZ)Longrightarrow c=kpi2
Como queremos cin(tfracpi2,,tfrac3pi2), o único inteiro k que funciona é k=2, dando c=pi.

Resposta

c=pi

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