Encontre a derivada da função dada.
(j) f(x)=log 10(xx+1)

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar a derivada da função f(x)=log10(xx+1). O conteúdo é derivada de logaritmo em base 10, que usa a regra da cadeia, e também precisaremos usar a regra do quociente para derivar a função interna u(x).

Passo 2

Definimos u(x)=xx+1 e aplicamos a regra do quociente para encontrar u'(x).
u'(x) = (x+1)cdot1 - xcdot1(x+1)^2 = 1(x+1)^2

Passo 3

Agora usamos a fórmula da derivada de logaritmo na base 10, que diz que se f(x)=log10(u(x)), então
f'(x) = u'(x)u(x)ln 10
Substituímos os valores de u(x) e u'(x):
f'(x) = 1(x+1)^2xx+1ln 10

Passo 4

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador:
f'(x) = 1(x+1)^2 cdot x+1xln 10 = 1x(x+1)ln 10

Resposta

1x(x+1)ln 10

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