Aplique a regra de L(h) lim x 2(x-2) tg pi x4

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto2(x-2)tanpi x4 aplicando a regra de L’Hôpital, o que envolve identificar a forma indeterminada e, se preciso, reescrever o limite como quociente.

Passo 2

Substituindo x=2, vemos que x-2to0 e tanpi x4totanpi2=infty. Isso dá a forma indeterminada 0cdotinfty, que não serve diretamente para L’Hôpital.

Passo 3

Para usar L’Hôpital, reescrevemos o produto (x-2)tanpi x4 como quociente. Observe que
(x-2)tanpi x4 = x-2cotpi x4
No limite xto2, o numerador x-2to0 e o denominador cot(pi/2)=0, gerando a forma 0/0.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
ddx(x-2)=1
Derivada do denominador: chamando u=pi x4, temos
ddxl(cot ur) = -csc^2 ucdot u' = -csc^2l(tfracpi x4r)cdotpi4

Passo 5

O limite original passa a ser
limxto21-pi4,csc^2l(pi x4r)
Substituindo x=2, nota-se que csc(pi/2)=1, logo csc^2(pi/2)=1. Portanto o limite vale
1-pi4cdot1 = -4pi

Resposta

-\frac{4}{\pi}

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