Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cl1-|x| & se |x|<1, 0 & caso contrário á

Passo 1

A função é um pulso triangular de base em [-1,1] definido por
f(x)=1-|x|,&|x|<1,0,&caso contrário á
Precisamos calcular sua transformada de Fourier usando a definição
Ff(omega)=integral-infty^+inftyf(x)e^-iomega x,dx
e aproveitar que f é função par para simplificar a integral.

Passo 2

Como f(x) é par (f(x)=f(-x)), a transformada fica real e pode ser escrita como
Ff(omega)=2integral0^1(1-x)cos(omega x),dx
Aqui usamos a propriedade de paridade: integral de -∞ a +∞ vira duas vezes de 0 a ∞.

Passo 3

Para avaliar I=integral0^1(1-x)cos(omega x),dx, fazemos integração por partes. Seja
u=1-x,&dv=cos(omega x),dx,du=-dx,&v=sin(omega x)omega
Então
I=(1-x)sin(omega x)omega|0^1+1omegaintegral0^1sin(omega x),dx

Passo 4

Calculando cada termo: em x=1 temos (1-1)sin(omega)/omega=0, em x=0 temos (1-0)sin0/omega=0. E
integral0^1sin(omega x),dx=-cos(omega x)omega|0^1=1-cosomegaomega
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I=1omegacdot1-cosomegaomega=1-cosomegaomega^2

Passo 5

Multiplicando por 2, obtemos
Ff(omega)=2I=2,(1-cosomega)omega^2
Podemos reescrever usando 1-cosomega=2sin^2(tfracomega2), ficando
Ff(omega)=4sin^2(tfracomega2)omega^2=gl(sin(tfracomega2)tfracomega2gr)^2

Resposta

Ff(omega)=2,(1-cosomega)omega^2=gl(sin(tfracomega2)tfracomega2gr)^2.

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